第4课-审判程序的灵魂
- 算法效率的度量
l 事后统计法
比较不同算法对同一组输入数据的运行处理时间.
缺陷:
(1) 为了获得不同算法的运行时间必须编写相应程序.
(2) 运行时间严重依赖硬件以及运行时的环境因素.
(3) 算法的测试数据的选取相当困难。
事后统计法虽然直观，但是实施困难且缺陷多 ，但是实施困难且缺陷多，一般不予考虑。
l 事前分析估算
依据统计的方法对算法效率进行估算。
l 影响算法效率的主要因素
(1) 算法采用的策略和方法。
(2) 问题的输入规模。
(3) 编译器所产生的代码。
(4) 计算机执行速度。
算法效率的简单估算
- 算法效率的估量
例子：二重循环估算
#include <stdio.h>
int func(int a[], int len)
{
int i = 0;
int j = 0;
int s = 0;
for(i=0; i<len; i++)
{
for(j=0; j<len; j++)
{
s += i*j;
}
}
return s;
}
int main()
{
int array[] = {1, 2, 3, 4, 5};
printf("%d ", func(array, 5));
return 0;
}
估算时间：t = (n2 + 2) T
启示
(1) 练习中的程序关键部分的操作数量为n*n。
(2) 三种求和算法中求和的关键部分的操作数量分别为2n, n和1。
随着问题规模n的增大，它们操作数量的差异也会越来越大，因此实际算法在时间效率上也会变得非常明显！
不同算法操作数量的对比
判断一个算法的效率时，往往只需要关注操作数量的最高次项，其它次要项和常数项可以忽略。
l 大O表示法
(1) 算法效率严重依赖于操作(Operation)数量。
(2) 在判断时首先关注操作数量的最高次项。
(3) 操作数量的估算可以作为时间复杂度的估算。
O(5) = O(1)
O(2n + 1) = O(2n) = O(n)
O(n2 + n + 1) = O(n2)
O(3n3+1) = O(3n3) = O(n3)
常见时间复杂度类型
关系：O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < o(n2) < O(n3) < O(2n) < O(n!) < O(nn)
- 最好与最坏
例子：
#include <stdio.h>
int search(int array[], int length, int n)
{
int ret = -1;
int i = 0;
for(i=0; i<length; i++)
{
if( array[i] == n )
{
ret = i;
break;
}
}
return ret;
}
int main()
{
int array[5] = {1, 2, 3, 4, 5};
printf("%d ", search(array, 5, 1)); //O(1)，一次就好
printf("%d ", search(array, 5, 5)); //O(n)，n次才好
return 0;
}
意义：
当算法在最坏情况下仍然能满足需求时，可以推断，算法的最好情况和平均情况都满足需求。
在没有特殊说明时，我们所分析的算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度。
- 算法的空间复杂度
算法的空间复杂度通过计算算法的存储空间实现
S(n) = S(n) = ) =O(f(n))
其中，n为问题规模，f(n)为在问题规模为n时所占用存储空间的函数。
空间复杂度表示申请的空间大小，大O表示法同样适用于算法的空间复杂度。当算法执行时所需要的空间是常数时，空间复杂度为O(1)，为n时是O(n)。
- 空间与时间的策略
(1) 多数情况下，算法执行时所用的时间更令人关注。
(2) 如果有必要，可以通过增加空间复杂度来降低时间复杂度。
(3) 同理，也可以通过增加时间复杂度来降低空间复杂度。
l 在实现算法时需要分析具体问题对执行时间和空间的要求。
例子：
#include <stdio.h>
/*
问题：
在一个由自然数1-1000中某些数字所组成的数组中，每个数字可能出现零次或者多次。
设计一个算法，找出出现次数最多的数字。
*/
void search(int a[], int len)
{
int sp[1000] = {0};
int i = 0;
int max = 0;
for(i=0; i<len; i++)
{
int index = a[i] - 1;
sp[index]++;
}
for(i=0; i<1000; i++)
{
if( max < sp[i] )
{
max = sp[i];
}
}
for(i=0; i<1000; i++)
{
if( max == sp[i] )
{
printf("%d ", i+1);
}
}
}
int main()
{
int array[] = {1, 1, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 2, 3};
search(array, sizeof(array)/sizeof(*array));
return 0;
}
这个算法很好。
思考：
当两个算法的大O表示法相同的时候，是否意味着两个算 ，是否意味着两个算法的效率完全相同？