hdu2065"红色病毒"问题(指数母函数+快速幂取模)

"红色病毒"问题

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Problem Description

医学界发现的新病毒因其蔓延速度和Internet上传播的"红色病毒"不相上下,被称为"红色病毒",经研究发现,该病毒及其变种的DNA的一条单链中,胞嘧啶,腺嘧啶均是成对出现的。
现在有一长度为N的字符串,满足一下条件:
(1) 字符串仅由A,B,C,D四个字母组成;
(2) A出现偶数次(也可以不出现);
(3) C出现偶数次(也可以不出现);
计算满足条件的字符串个数.
当N=2时,所有满足条件的字符串有如下6个:BB,BD,DB,DD,AA,CC.
由于这个数据肯能非常庞大,你只要给出最后两位数字即可.

 

Input

每组输入的第一行是一个整数T,表示测试实例的个数,下面是T行数据,每行一个整数N(1<=N<2^64),当T=0时结束.

 

Output

对于每个测试实例,输出字符串个数的最后两位,每组输出后跟一个空行.

 

Sample Input

4

1

4

20

11

3

14

24

6

0

 

Sample Output

Case 1: 2

Case 2: 72

Case 3: 32

Case 4: 0

 

 

Case 1: 56

Case 2: 72

Case 3: 56

用母函数来做

A：(1 + x^2/1! + x^4/2! + ….); 

B:(1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + …);

C:(1 + x^2/1! + x^4/2! + ….);

D:(1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + …);

可以得到

G(x) = (1 + x^2/1! + x^4/2! + ….)2 * (1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + …)2;

由泰勒展开式

ex = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + …

e-x = 1 - x/1! + x^2/2! - x^3/3! + …

得到

G(x) = e^2x + ((e^x + e^-x)/2)2;

= (1/4) * (^e2x + 1)2

= (1/4) * (e^4x + 2*e^2x + 1);

又因为：

e4x = 1 + (4x)/1! + (4x)^2/2! + (4x)^3/3! + … + (4x)^n/n!;

e2x = 1 + (2x)/1! + (2x)^2/2! + (2x)^3/3! + … + (2x)^n/n!;
所以：

n次幂的排列数为 (1/4)(4^n + 2*2^n)
化简为(4^(n-1)+2^(n-1))%100

因为数据比较大，所以要用到快速幂取模

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long mod_exp(long long a, long long b, long long c)        //快速幂取余a^b%c
{
    long long res, t;
    res = 1 % c; 
    t = a % c;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
        {
            res = res * t % c;
        }
        t = t * t % c;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int t;
    while(~scanf("%d",&t),t)
    {
        int cases=0;
        while(t--)
        {
            
            cases++;
            long long n;scanf("%lld",&n);
            long long ans=(mod_exp(4,n-1,100)+mod_exp(2,n-1,100))%100; 
            printf("Case %d: %lld
",cases,ans);
            
        }
        printf("
");
    }
    return 0;
}

 https://blog.csdn.net/weixin_39778570/article/details/82256128