矩阵乘法

以下摘自《信息学奥赛一本通提高篇》

矩阵乘法

设A,B是两个矩阵，令C=A*B;

1.A的列数必须与B的行数相等

2.设A是n*r的矩阵，B是r*m的矩阵，那么A与B的乘积C是一个n*m的矩阵

3.C[i][j]=A[i][k]*B[k][j] (k=1~r)

方阵乘幂

我们用快速幂的思想来求方阵乘幂。

矩阵乘法的应用

1.很容易将有用的状态储存于一个矩阵中

2.通过状态矩阵与状态转移矩阵相乘可快速得到一次DP的值(注意这个DP的状态转移方程必须要是一次的递推式)

3.求矩阵相乘的结果是要做很多次的乘法，这样的效率非常低，但由于矩阵乘法满足结合律，可以先算后面的转移矩阵，即用快速幂，迅速处理好后面的转移矩阵，再用初始矩阵乘上后面的转移矩阵得到结果，时间复杂度为log(n)级别的

做题！

洛谷1962 斐波那契数列（Fibonacci第n项）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define R register
#define go(i,a,b) for(R int i=a;i<=b;i++)
#define yes(i,a,b) for(R int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define db double
using namespace std;
ll n,m;int mod;
struct node{ll mt[3][3];};
node calc(node x,node y,int a,int b,int c)
{
    node z;memset(z.mt,0,sizeof(z.mt));
    go(i,1,a)
        go(j,1,b)
        go(k,1,c)
        z.mt[i][j]=(z.mt[i][j]+x.mt[i][k]*y.mt[k][j])%mod;
    return z;
}
node a,b,c;
void sol()
{
    while(m)
    {
        if(m&1) b=calc(b,a,2,2,2);
        m>>=1;a=calc(a,a,2,2,2);
    }
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);m=n-2;mod=1000000007;
    if(n<=2){printf("1");return 0;}
    a.mt[1][1]=1,a.mt[1][2]=1,a.mt[2][1]=1,a.mt[2][2]=0;
    b.mt[1][1]=1,b.mt[1][2]=0,b.mt[2][1]=0,b.mt[2][2]=1;
    c.mt[1][1]=1;c.mt[2][1]=1;
    sol();
    c=calc(b,c,2,1,2);
    printf("%lld",c.mt[1][1]);
    return 0;
}

Fibonacci前n项之和

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define R register
#define go(i,a,b) for(R int i=a;i<=b;i++)
#define yes(i,a,b) for(R int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define db double
using namespace std;
ll n,m;int mod;
struct node{ll mt[4][4];};
node calc(node x,node y,int a,int b,int c)
{
    node z;memset(z.mt,0,sizeof(z.mt));
    go(i,1,a)
        go(j,1,b)
        go(k,1,c)
        z.mt[i][j]=(z.mt[i][j]+x.mt[i][k]*y.mt[k][j])%mod;
    return z;
}
node a,b,c;
void sol()
{
    while(m)
    {
        if(m&1) b=calc(b,a,3,3,3);
        m>>=1;a=calc(a,a,3,3,3);
    }
}
int main()
{
    scanf("%lld%d",&n,&mod);m=n-2;
    if(n==1){printf("1");return 0;}
    if(n==2){printf("2");return 0;}
    a.mt[1][1]=1,a.mt[1][2]=1,a.mt[1][3]=1;
    a.mt[2][1]=0,a.mt[2][2]=1,a.mt[2][3]=1;
    a.mt[3][1]=0,a.mt[3][2]=1,a.mt[3][3]=0;
    b.mt[1][1]=1,b.mt[1][2]=0,b.mt[1][3]=0;
    b.mt[2][1]=0,b.mt[2][2]=1,b.mt[2][3]=0;
    a.mt[3][1]=0,b.mt[3][2]=0,b.mt[3][3]=1;
    c.mt[1][1]=2,c.mt[2][1]=1,c.mt[3][1]=1;
    sol();
    c=calc(b,c,3,1,3);
    printf("%lld",c.mt[1][1]);
    return 0;
}

Poj3233 Matrix Power Series