leetcode Ch1-search 2014

1. Search Insert Position

class Solution {
public:
    int searchInsert(int A[], int n, int target) {
        int left=0,right=n-1;
        while(left<=right)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(A[mid]==target) return mid;
            if(A[mid]<target)
                left=mid+1;
            else right=mid-1;
        }
        return left;
    }
};

当循环结束时，如果没有找到目标元素，那么left一定停在恰好比目标大的元素的index上，right一定停在恰好比目标小的index上.

特殊点的例子：当在{1,2,3,4,5}里执行二分查找找0时，此时的left=0, right=-1.(left和right也是挺拼的，为了比target大/小，不惜越界。)

这个规律非常有用，合理利用left和right在未找到target的情况下退出while循环时的特性，能解决很多问题，尤其体现在实现upperBound和lowerBound函数时。如果要利用left或right，需要保证target不在当前区间内，这样才能让while循环以未找到target的状态退出。为了实现这一点，我们需要在即使发现target==A[mid]的情况下仍然假装没看见，继续缩小搜索范围。

因此如果要在二分搜索的基础上计算bound的话，其实就是怎么处理那几个值为target的元素的问题。也就是是否把这部分值恰好为target的元素纳入下一轮搜索范围。(二分搜索本质上就是不断缩小搜索范围)。

以upperBound为例。upperBound函数是找[left,right]内第一个大于target的元素下标------所以值为target的元素肯定要排除在搜索范围之外。这样当A[mid]==target时我们仍将其排除在搜索范围外，即让low=mid+1。一直到搜索范围里已经没有值为target的元素了，此时根据二分查找的性质，当区间里没有找到target时，while循环退出后low指向刚好大于target的位置，high指向刚好小于target的位置。所以此时我们返回low即为刚好大于target的位置，即——第一个大于target的位置。

lowerBound同理。lowerBound是寻找[left,right]内第一个值不小于target的元素下标。“不小于”target的不好求，但刚好小于target的那个元素位置比较好求，因为这就是right的返回值。所以我们按照上述思路，在遇到A[mid]==target的情况下仍假装看不见，继续缩小搜索范围，直到当前范围里没有了target，最终循环退出时right就指向值刚好小于target的元素位置。而（right+1）即为不小于target的元素下标。

 lowerBound和upperBound的实现代码在下一题代码中。

What if there are duplicates?

2. Search for a Range

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(int A[], int n, int target) {
        int left=0,right=n-1;
        vector<int> res(2,-1);//[-1,-1]是默认值
        while(left<=right)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(A[mid]<target) 
                left=mid+1;
            else if(A[mid]>target)
                right=mid-1;
            else
            {
                res[0]=lowerBound(A,left,mid,target);
                res[1]=upperBound(A,mid,right,target)-1;//别忘了减1                                
                return res;
            }
        }
        return res;//这一句别忘了。当查找失败时返回[-1,-1].
    }
private:
    int upperBound(int A[], int left, int right, int target)
    {
        int low = left, high = right;
        while (low <= high)
        {
            int mid = low + (high - low) / 2;
            if (A[mid] <= target)
                low = mid + 1;
            else
                high = mid - 1;
        }
        return low;
    }
    int lowerBound(int A[], int left, int right, int target)
    {
        int low = left, high = right;
        while (low <= high)
        {
            int mid = low + (high - low) / 2;
            if (A[mid] >= target)
                high = mid - 1;
            else
                low = mid + 1;
        }
        return high + 1;
    }
};

lowerBound和upperBound与binarySearch之间的关系上一题里已经分析过了。

注意几个小细节，已在注释中标明。细节决定成败，bug-free需要谨小慎微。

3. Search in Rotated Sorted Array

class Solution {
public:
    int search(int A[], int n, int target) {
        int left=0,right=n-1;
        while(left<=right)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(A[mid]==target) return mid;
            if(A[mid]<A[right])//说明右半段是有序的
            {
                if(target>A[mid]&&target<=A[right])
                    left=mid+1;
                else
                    right=mid-1;                    
            }
            else
            {
                if(target>=A[left]&&target<A[mid])
                    right=mid-1;
                else
                    left=mid+1;
            }
        }
        return -1;
    }
};

最关键的把握这个规律："总有一半是有序的，而且和另一半无区间重叠"。code ganker的总结很好。

4. Search in Rotated Sorted Array II

class Solution {
public:
    bool search(int A[], int n, int target) {
        for(int i=0;i<n;i++)
            if(A[i]==target) return true;
        return false;
    }
};

由于允许有duplicates，会导致没有办法像I中那样根据A[mid]和A[left]、A[right]的比较来确定是哪一半有序，应该在哪一半查找。

导致最坏时间复杂度变为O(n)。因此用最简单的遍历来实现就可以。

5. Search a 2D Matrix

class Solution {
public:
    bool searchMatrix(vector<vector<int> > &matrix, int target) {
        if(matrix.size()==0||matrix[0].size()==0) return false;
        int m=matrix.size(); int n=matrix[0].size();
        int left=0,right=m*n-1;
        while(left<=right)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            int midX=mid/n; int midY=mid%n;//注意：这里是n，不是m！
            if(matrix[midX][midY]==target) return true;
            if(matrix[midX][midY]<target)            
                left=mid+1;
            else
                right=mid-1;
        }
        return false;
    }
};

6. sqrt(x)

 class Solution {
public:
    int sqrt(int x) {
        if(x<2) return x;
        int left=1,right=x/2+1;
        while(left<=right)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(mid<=x/mid&&(mid+1)>x/(mid+1))//防止溢出
                return mid;
            if(mid>x/(mid))
                right=mid-1;
            else
                left=mid+1;
        }
        return -1;
    }
};

 比较蹊跷的是if(mid>x/mid)和下面的else不能换位置。尚不知为何。