P4035 [JSOI2008]球形空间产生器

题目描述

有一个球形空间产生器能够在 nn 维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个 nn 维球体中，你只知道球面上 n+1n+1 个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个 nn 维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行是一个整数 nn (1<=N=10)(1<=N=10) 。接下来的 n+1n+1 行，每行有 nn 个实数，表示球面上一点的 nn 维坐标。每一个实数精确到小数点后 66 位，且其绝对值都不超过 2000020000 。

 

输出格式：

 

有且只有一行，依次给出球心的 nn 维坐标（ nn 个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后 33 位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

 

输入输出样例

输入样例#1： 

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

输出样例#1： 

0.500 1.500

说明

提示：给出两个定义：

1. 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。
2. 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为 (a_1, a_2, cdots , a_n), (b_1, b_2, cdots , b_n)(a1​,a2​,⋯,an​),(b1​,b2​,⋯,bn​) ，则AB的距离定义为： dist = sqrt{ (a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + cdots + (a_n-b_n)^2 }dist=(a1​−b1​)2+(a2​−b2​)2+⋯+(an​−bn​)2​

Solution：

　　我们所求的是$n$维的球心坐标，可以肯定的是$forall i,iin[1,n+1]$，都有$sumlimits_{j=1}^{jleq n}{(o_j-x_{ij})^2}=R^2$其中$o$为圆心、$R$是个常数代表半径。

　　题目中给了$n+1$个这样的式子，我们相邻的两式相减，就能得到$n$个消去了$R$的等式$sumlimits_{j=1}^{jleq n}{[(o_j-x_{ij})^2+(o_j-x_{i+1j})^2]}=0$，展开可以得到$sumlimits_{j=1}^{jleq n}{[2*o_j*(x_{ij}-x_{i+1j})]}=sumlimits_{j=1}^{jleq n}{(x_{ij}^2-x_{i+1j}^2)}$，等式左边我们直接作为$n$个$n$元方程，右边就是每个方程所对应的常数。

　　处理出这个$n$元方程组，直接高斯消元求解就好了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
using namespace std;
const int N=25;
int n,now;
double a[N][N],b[N][N];

int main(){
    scanf("%d",&n);
    For(i,1,n+1) For(j,1,n) scanf("%lf",&b[i][j]);
    For(i,1,n) For(j,1,n) {
        a[i][j]=2*(b[i][j]-b[i+1][j]);
        a[i][n+1]+=(b[i][j]*b[i][j]-b[i+1][j]*b[i+1][j]);
    }
    For(i,1,n) {
        now=i;
        For(j,i+1,n) if(fabs(a[j][i])>fabs(a[now][i]))now=j;
        if(now!=i) For(j,i,n+1) swap(a[now][j],a[i][j]);
        For(k,i+1,n){
            double t=a[k][i]/a[i][i];
            For(j,i,n+1) a[k][j]-=a[i][j]*t;
        }
    }
    Bor(i,1,n){
        For(j,i+1,n) a[i][n+1]-=a[j][n+1]*a[i][j];
        a[i][n+1]/=a[i][i];
    }
    For(i,1,n) printf("%.3lf ",a[i][n+1]);
    return 0;
}