洛谷 P1344 [USACO4.4]追查坏牛奶Pollutant Control

题目描述

你第一天接手三鹿牛奶公司就发生了一件倒霉的事情：公司不小心发送了一批有三聚氰胺的牛奶。很不幸，你发现这件事的时候，有三聚氰胺的牛奶已经进入了送货网。这个送货网很大，而且关系复杂。你知道这批牛奶要发给哪个零售商，但是要把这批牛奶送到他手中有许多种途径。送货网由一些仓库和运输卡车组成，每辆卡车都在各自固定的两个仓库之间单向运输牛奶。在追查这些有三聚氰胺的牛奶的时候，有必要保证它不被送到零售商手里，所以必须使某些运输卡车停止运输，但是停止每辆卡车都会有一定的经济损失。你的任务是，在保证坏牛奶不送到零售商的前提下，制定出停止卡车运输的方案，使损失最小。

输入输出格式

输入格式：

第一行: 两个整数N(2<=N<=32)、M(0<=M<=1000), N表示仓库的数目，M表示运输卡车的数量。仓库1代 表发货工厂，仓库N代表有三聚氰胺的牛奶要发往的零售商。 第2..M+1行: 每行3个整数Si,Ei,Ci。其中Si,Ei表示这 辆卡车的出发仓库，目的仓库。Ci(0 <= C i <= 2,000,000) 表示让这辆卡车停止运输的损失。

输出格式：

两个整数C、T：C表示最小的损失，T表示在损失最小的前提下，最少要停止的卡车数。

输入输出样例

输入样例#1： 

4 5
1 3 100
3 2 50
2 4 60
1 2 40
2 3 80

输出样例#1： 

60 1

说明

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 4.4

Solution：

　　简单讲，本题给出了边的权值，要求最小的代价使得1和n不连通。这不就是最小割嘛！我们直接把1当作S，n当作T。

　　但因为本题既要输出最小割的值又要输出割的边数，前者好求关键是后者如何去求更简单，容易想到我们可以直接建两次图，一次按原边权建图跑最大流求得最小割，再按边权为1建图跑最大流求割的边数，这是一种思路;

　　当然我们完全可以换种思路用一次最大流搞定，只需建图时将边权w=w*a+1（w为本来的边权，a为大于1000的数），这样我们能求得最大流ans，则最小割的值为ans/a，割的边数为ans%a。这很容易理解，但是还是解释一下：因为最小割的边集中有w1+w2+w3…+wn=ans（这个ans为本来的最小割），所以必然有w1*a+w2*a+w3*a…+wn*a=ans*a，于是必然有w1*a+1+w2*a+1+w3*a+1…+wn*a+1=ans*a+k(k为最小割的边数，k<=m<=1000)，这样就很明显了，因为边数m不大于1000，所以k的最大值为1000，我们只要使设定的a的值大于1000，那么按上述方法建图，跑出的最大流除以a就是最小割的值ans，最大流模a就是最小割的边数k。

代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long 
#define debug printf("%d %s
",__LINE__,__FUNCTION__)
using namespace std;
const ll N=100005,inf=233333333333333,mod=2018;
ll n,m,s,t,h[100],dis[2005],cnt=1;
ll ans;
struct edge{
ll to,net;ll v;
}e[N];
il void add(ll u,ll v,ll w)
{
    e[++cnt].to=v,e[cnt].net=h[u],e[cnt].v=w,h[u]=cnt;
    e[++cnt].to=u,e[cnt].net=h[v],e[cnt].v=0,h[v]=cnt;
}
queue<ll>q;
il bool bfs()
{
    memset(dis,-1,sizeof(dis));
    q.push(s),dis[s]=0;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=h[u];i;i=e[i].net)
        if(dis[e[i].to]==-1&&e[i].v>0)dis[e[i].to]=dis[u]+1,q.push(e[i].to);
    }
    return dis[t]!=-1;
}
il ll dfs(ll u,ll op)
{
    if(u==t)return op;
    ll flow=0,used=0;
    for(int i=h[u];i;i=e[i].net)
    {
        int v=e[i].to;
        if(dis[v]==dis[u]+1&&e[i].v>0)
        {
            used=dfs(v,min(op,e[i].v));
            if(!used)continue;
            flow+=used,op-=used;
            e[i].v-=used,e[i^1].v+=used;
            if(!op)break;
        }
    }
    if(!flow)dis[u]=-1;
    return flow;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);s=1,t=n;
    ll u,v;ll w;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
        add(u,v,w*mod+1);
    }
    while(bfs())ans+=dfs(s,inf);
    printf("%lld %lld
",ans/mod,ans%mod);
    return 0;
}