分层遍历二叉树
《编程之美》3.10
问题：给定一颗二叉树，要求按分层遍历该二叉树，即从上到下按层次访问该二叉树（每一层单独输出一行），每一层要求访问的顺序为从左到右，并将节点依次编号。
解：
算法1
printNodeAtLevel(Node *root, int level)
if(level == 0 && root)
输出root->data
return
if(root==NULL)
return
printNodeAtLevel(root->left, level-1)
printNodeAtLevel(root->right, level-1)
如果写成：
printNodeAtLevel(Node *root, int level)
if(level == 0)
输出root->data
return
if(root->left)
printNodeAtLevel(root->left, level-1)
if(root->right)
printNodeAtLevel(root->right, level-1)
可能出现的问题是：当二叉树为空时，在调用printNodeAtLevel的函数中需要判断：
if(root)
printNodeAtLevel(root,level)
而如果写成第一种形式，则无需判断
设二叉树的深度是deep
printTreeByLevel()
for(i=0;i<deep;i++)
printfNodeAtLevel(root,i)
算法2
分析该算法，需额外求出二叉树的深度deep。
遍历每层节点均从根root开始，造成效率低下。在访问第k层节点的时候，只需要第k-1层的节点信息。因此，可以在打印第k-1层节点时，保留第k-1层的节点信息，从而避免每层遍历都从root开始。
vector<Node*> vecs; //用于保存各层节点信息
printNodeAtLevel(Node *root, int level)
if(level == 0 && root)
输出root->data
return
if(root==NULL)
return
vec.push_back(root)
printNodeAtLevel(root->left, level-1)
printNodeAtLevel(root->right, level-1)
printTreeByLevel(Node *root)
vec.push_back(root)
cur=0
while(cur != vec.size())
last = vec.size()
while(cur != last)
cout << vec[cur]->data<< “ ”;
if(root->left)
vec.push_back(root->left)
if(root->right)
vec.push_back(root->right)
cur ++
输出换行符
算法3：BFS
使用BFS的关键问题在于：输出换行符。采用了两种方法：一种是在每一行后插入一个空指针NULL来表示一行的结束；另一种方法使用两个队列，一个que1用来表示当前层的节点，另一个que2用来表示下一层的节点。
方法1
que.push(root)
while(true)
last=vec.size()
while(cur < lase)
p=que[cur++]
if(!p)
cout << endl
vec.push(0)
break
cout<<p->data
if(p->left)
vec.push(p->left)
if(p->right)
vec.push(p->right)
if(cur == que.size()-1 && que[cur]==NULL)
break
方法2：使用两个队列
que1.push(root)
while(true)
while(que1非空)
p= que1.pop()
输出p
if(p->left)
que2.push(p->left)
if(p->right)
que2.push(p->right)
输出换行符
que1.swap(que2)
if(que1为空)
break
扩展问题：
要求按深度从下到上访问二叉树，每层的访问顺序依然是从左到右。
解：首先把各层节点（以0作为层的分隔符）存放在一个vec中，然后反向遍历vec
此时，需要注意的地方是：节点入vec的顺序是先右节点再左节点。
具体代码如下：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <deque>
using namespace std;
class Node{
public:
Node(int d):data(d), left(NULL), right(NULL){}
int data;
Node *left;
Node *right;
};
//algorithm 1
void printNodeAtLevelRecursion(Node *root, int level){
if (level == 0 && root)
{
cout << root->data << " ";
return;
}
if (root == NULL)
return;
if (root->left)
printNodeAtLevelRecursion(root->left, level-1);
if (root->right)
printNodeAtLevelRecursion(root->right, level - 1);
}
int comDeep(Node *root){
if (root == NULL)
return 0;
int leftDeep = comDeep(root->left);
int rightDeep = comDeep(root->right);
return leftDeep > rightDeep ? leftDeep + 1 : rightDeep + 1;
}
void printNode(Node *root){
int deep = comDeep(root);
for (int level = 0; level < deep; level ++){
printNodeAtLevelRecursion(root, level);
cout << endl;
}
}
// algorithm2
void printNodeAtLevel2(Node *root){
vector<Node*> vec;
vec.push_back(root);
int cur = 0;
int last;
while (true)
{
last = vec.size();
while (cur < last)
{
Node *p = vec[cur];
cout << p->data << " ";
cur ++;
if (p->left)
vec.push_back(p->left);
if (p->right)
vec.push_back(p->right);
}
cout << endl;
if (cur == vec.size())
break;
}
}
//algorithm3:BFS
void printNodeAtLevelBFS1(Node *root){
queue<Node*> que;
que.push(root);
que.push(0);
while (true)
{
int size = que.size();
while (true)
{
Node *p = que.front();
que.pop();
if (p == NULL){
cout << endl;
que.push(0);
break;
}
cout << p->data << " ";
if (p->left)
que.push(p->left);
if (p->right)
que.push(p->right);
}
if (que.size() == 1 && que.front() == NULL)
break;
}
}
void printNodeAtLevelBFS2(Node *root){
deque<Node*> que1, que2;
que1.push_back(root);
while (true)
{
while (!que1.empty())
{
Node *p = que1.front();
que1.pop_front();
cout << p->data << " ";
if (p->left)
que2.push_back(p->left);
if (p->right)
que2.push_back(p->right);
}
cout << endl;
que1.swap(que2);
if (que1.empty())
break;
}
}
//extensive question1:print node at level form down to up;point at each level: from left to right
void printNodeAtLevelDown2UpLeft2Right(Node *root){
vector<Node *> vec;
vec.push_back(root);
vec.push_back(0);
int cur = 0;
while (true)
{
while (true)
{
Node *p = vec[cur ++];
if (p == NULL)
{
vec.push_back(0);
break;
}
if (p->right)
vec.push_back(p->right);
if (p->left)
vec.push_back(p->left);
}
if (cur == vec.size()-1 && vec[cur] == 0)
break;
}
vec.pop_back();
//traverse the vec in reverse order
cur = vec.size() - 2;
while (cur >= 0)
{
if (vec[cur] == NULL)
{
cout << endl;
}
else{
cout << vec[cur]->data << " ";
}
cur --;
}
cout << endl;
}
//extensive question1:print node at level form down to up;point at each level: from right to left
void printNodeAtLevelDown2UpRight2Left(Node *root){
vector<Node *> vec;
vec.push_back(root);
vec.push_back(0);
int cur = 0;
while (true)
{
while (true)
{
Node *p = vec[cur ++];
if (p == NULL)
{
vec.push_back(0);
break;
}
if (p->left)
vec.push_back(p->left);
if (p->right)
vec.push_back(p->right);
}
if (cur == vec.size()-1 && vec[cur] == 0)
break;
}
vec.pop_back();
//traverse the vec in reverse order
cur = vec.size() - 2;
while (cur >= 0)
{
if (vec[cur] == NULL)
{
cout << endl;
}
else{
cout << vec[cur]->data << " ";
}
cur --;
}
cout << endl;
}
int main(){
Node *p1 = new Node(1);
Node *p2 = new Node(2);
Node *p3 = new Node(3);
Node *p4 = new Node(4);
Node *p5 = new Node(5);
Node *p6 = new Node(6);
Node *p7 = new Node(7);
Node *p8 = new Node(8);
p1->left = p2;
p1->right = p3;
p2->left = p4;
p2->right = p5;
p3->right = p6;
p5->left = p7;
p5->right = p8;
Node *root = p1;
cout << "test printNode***********" << endl;
printNode(root);
cout << "test printNodeAtLevel2************" << endl;
printNodeAtLevel2(root);
cout << "test printNodeAtLevelBFS1**************" << endl;
printNodeAtLevelBFS1(root);
cout << "test printNodeAtLevelBFS2**************" << endl;
printNodeAtLevelBFS2(root);
cout << "test printNodeAtLevelDown2UpLeft2Right**************" << endl;
printNodeAtLevelDown2UpLeft2Right(root);
cout << "test printNodeAtLevelDown2UpRight2Left**************" << endl;
printNodeAtLevelDown2UpRight2Left(root);
return 0;
}
之前重温本书写书评时，也尝试找寻更好的编程解法。今天把另一个问题的实现和大家分享。
问题定义
给定一棵二叉树，要求按分层遍历该二叉树，即从上到下按层次访问该二叉树(每一层将单独输出一行)，每一层要求访问的顺序为从左到右，并将节点依次编号。下面是一个例子:
输出:
1
2 3
4 5 6
7 8
节点的定义:
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1 2 3 4 5 |
struct Node { Node *pLeft; Node *pRight; int data; }; |
书上的解法
书上举出两个解法。第一个解法是用递归方式，搜寻并打印某一层的节点，再打印下一层的节点。这方法简单但时间效率不高(但不需要额外空间)，因此书中亦提供了第二个解法。
书中第二个解法，使用vector容器来储存n个节点信息，并用一个游标变量last记录前一层的访问结束条件，实现如下:
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void PrintNodeByLevel(Node* root) { vector<Node*> vec; // 这里我们使用STL 中的vector来代替数组，可利用到其动态扩展的属性 vec.push_back(root); int cur = 0; int last = 1; while(cur < vec.size()) { Last = vec.size(); // 新的一行访问开始，重新定位last于当前行最后一个节点的下一个位置 while(cur < last) { cout << vec[cur] -> data << " "; // 访问节点 if(vec[cur] -> lChild) // 当前访问节点的左节点不为空则压入 vec.push_back(vec[cur] -> lChild); if(vec[cur] -> rChild) // 当前访问节点的右节点不为空则压入，注意左右节点的访问顺序不能颠倒 vec.push_back(vec[cur] -> rChild); cur++; } cout << endl; // 当cur == last时,说明该层访问结束，输出换行符 } } |
广度优先搜索
书中没有提及，本问题其实是以广度优先搜索(breath-first search, BFS)去遍历一个树结构。广度优先搜索的典型实现是使用队列(queue)。其伪代码如下:
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enqueue(Q, root) do node = dequeue(Q) process(node) //如把内容列印 for each child of node enqueue(Q, child) while Q is not empty |
书上的解法，事实上也使用了一个队列。但本人认为，使用vector容器，较不直觉，而且其空间复杂度是O(n)。
如果用队列去实现BFS，不处理换行，能简单翻译伪代码为C++代码:
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void PrintBFS(Node* root) { queue<Node*> Q; Q.push(root); do { Node *node = Q.front(); Q.pop(); cout << node->data << " "; if (node->pLeft) Q.push(node->pLeft); if (node->pRight) Q.push(node->pRight); } while (!Q.empty()); } |
本人觉得这样的算法实现可能比较清楚，而且空间复杂度只需O(m)，m为树中最多节点的层的节点数量。最坏的情况是当二叉树为完整，m = n/2。
之后的难点在于如何换行。
本人的尝试之一
第一个尝试，利用了两个队列，一个储存本层的节点，另一个储存下层的节点。遍历本层的节点，把其子代节点排入下层队列。本层遍历完毕后，就可换行，并交换两个队列。
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void PrintNodeByLevel(Node* root) { deque<Node*> Q1, Q2; Q1.push_back(root); do { do { Node* node = Q1.front(); Q1.pop_front(); // Removes the first element in the list container, effectively reducing the list size by one. cout << node->data << " "; if (node->pLeft) Q2.push_back(node->pLeft); if (node->pRight) Q2.push_back(node->pRight); } while (!Q1.empty()); //q1不为空时把下一层的值都压入到q2中 cout << endl; Q1.swap(Q2); //交换q1，q2，此时q2为空，q1是上层的值 } while(!Q1.empty()); } |
本实现使用deque而不是queue，因为deque才支持swap()操作。注意，swap()是O(1)的操作，实际上只是交换指针。
这实现要用两个循环(书上的实现也是)，并且用了两个队列。能够只用一个循环、一个队列么?
本人的尝试之二
换行问题其实在于如何表达一层的结束。书上采用了游标，而第一个尝试则用了两个队列。本人想到第三个可行方案，是把一个结束信号放进队列里。由于使用queue<Node*>，可以插入一个空指针去表示一层的遍历结束。
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void PrintNodeByLevel(Node* root) { queue<Node*> Q; Q.push(root); Q.push(0); do { Node* node = Q.front(); Q.pop(); if (node) { cout << node->data << " "; if (node->pLeft) Q.push(node->pLeft); if (node->pRight) Q.push(node->pRight); } else if (!Q.empty()) { Q.push(0); cout << endl; } } while (!Q.empty()); } |
这个实现的代码很贴近之前的PrintBFS()，也只有一个循环。注意一点，当发现空指针(结束信号)时，要检查队列内是否还有节点，如果没有的话还插入新的结束信号，则会做成死循环。
测试代码
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void Link(Node* nodes, int parent, int left, int right) { if (left != -1) nodes[parent].pLeft = &nodes[left];
if (right != -1) nodes[parent].pRight = &nodes[right]; }
void main() { Node test1[9] = { 0 };
for (int i = 1; i < 9; i++) test1[i].data = i;
Link(test1, 1, 2, 3); Link(test1, 2, 4, 5); Link(test1, 3, 6, -1); Link(test1, 5, 7, 8);
PrintBFS(&test1[1]); cout << endl << endl;
PrintNodeByLevel(&test1[1]); cout << endl; } |
结语
第一个尝试是几个月前做的，没想到今晚写博文又想到了第二个尝试。两个尝试难分优劣，但两种思维或许也可以解决其他问题。还有其他方法么？