在Python实践中，我们往往遇到排序问题，比如在对搜索结果打分的排序（没有排序就没有Google等搜索引擎的存在），当然，这样的例子数不胜数。《数据结构》也会花大量篇幅讲解排序。之前一段时间，由于需要，我复习了一下排序算法，并用Python实现了各种排序算法，放在这里作为参考。
最简单的排序有三种：插入排序，选择排序和冒泡排序。这三种排序比较简单，它们的平均时间复杂度均为O(n^2)，在这里对原理就不加赘述了。贴出来源代码。
插入排序：
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def insertion_sort(sort_list): iter_len = len(sort_list) if iter_len < 2: return sort_list for i in range(1, iter_len): key = sort_list[i] j = i - 1 while j >= 0 and sort_list[j] > key: sort_list[j+1] = sort_list[j] j -= 1 sort_list[j+1] = key return sort_list |
冒泡排序：
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def bubble_sort(sort_list): iter_len = len(sort_list) if iter_len < 2: return sort_list for i in range(iter_len-1): for j in range(iter_len-i-1): if sort_list[j] > sort_list[j+1]: sort_list[j], sort_list[j+1] = sort_list[j+1], sort_list[j] return sort_list |
选择排序：
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def selection_sort(sort_list): iter_len = len(sort_list) if iter_len < 2: return sort_list for i in range(iter_len-1): smallest = sort_list[i] location = i for j in range(i, iter_len): if sort_list[j] < smallest: smallest = sort_list[j] location = j if i != location: sort_list[i], sort_list[location] = sort_list[location], sort_list[i] return sort_list |
这里我们可以看到这样的句子：
sort_list[i], sort_list[location] = sort_list[location], sort_list[i]
不了解Python的同学可能会觉得奇怪，没错，这是交换两个数的做法，通常在其他语言中如果要交换a与b的值，常常需要一个中间变量temp，首先把a赋给temp，然后把b赋给a，最后再把temp赋给b。但是在python中你就可以这么写：a,
b = b, a，其实这是因为赋值符号的左右两边都是元组（这里需要强调的是，在python中，元组其实是由逗号“,”来界定的，而不是括号）。
平均时间复杂度为O(nlogn)的算法有：归并排序，堆排序和快速排序。
归并排序。对于一个子序列，分成两份，比较两份的第一个元素，小者弹出，然后重复这个过程。对于待排序列，以中间值分成左右两个序列，然后对于各子序列再递归调用。源代码如下，由于有工具函数，所以写成了callable的类：
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class merge_sort(object): def _merge(self, alist, p, q, r): left = alist[p:q+1] right = alist[q+1:r+1] for i in range(p, r+1): if len(left) > 0 and len(right) > 0: if left[0] <= right[0]: alist[i] = left.pop(0) else: alist[i] = right.pop(0) elif len(right) == 0: alist[i] = left.pop(0) elif len(left) == 0: alist[i] = right.pop(0) def _merge_sort(self, alist, p, r): if p<r: q = int((p+r)/2) self._merge_sort(alist, p, q) self._merge_sort(alist, q+1, r) self._merge(alist, p, q, r) def __call__(self, sort_list): self._merge_sort(sort_list, 0, len(sort_list)-1) return sort_list |
堆排序，是建立在数据结构——堆上的。关于堆的基本概念、以及堆的存储方式这里不作介绍。这里用一个列表来存储堆（和用数组存储类似），对于处在i位置的元素，2i+1位置上的是其左孩子，2i+2是其右孩子，类似得可以得出该元素的父元素。
首先我们写一个函数，对于某个子树，从根节点开始，如果其值小于子节点的值，就交换其值。用此方法来递归其子树。接着，我们对于堆的所有非叶节点，自下而上调用先前所述的函数，得到一个树，对于每个节点（非叶节点），它都大于其子节点。（其实这是建立最大堆的过程）在完成之后，将列表的头元素和尾元素调换顺序，这样列表的最后一位就是最大的数，接着在对列表的0到n-1部分再调用以上建立最大堆的过程。最后得到堆排序完成的列表。以下是源代码：
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class heap_sort(object): def _left(self, i): return 2*i+1 def _right(self, i): return 2*i+2 def _parent(self, i): if i%2==1: return int(i/2) else: return i/2-1 def _max_heapify(self, alist, i, heap_size=None): length = len(alist) if heap_size is None: heap_size = length l = self._left(i) r = self._right(i) if l < heap_size and alist[l] > alist[i]: largest = l else: largest = i if r < heap_size and alist[r] > alist[largest]: largest = r if largest!=i: alist[i], alist[largest] = alist[largest], alist[i] self._max_heapify(alist, largest, heap_size) def _build_max_heap(self, alist): roop_end = int(len(alist)/2) for i in range(0, roop_end)[::-1]: self._max_heapify(alist, i) def __call__(self, sort_list): self._build_max_heap(sort_list) heap_size = len(sort_list) for i in range(1, len(sort_list))[::-1]: sort_list[0], sort_list[i] = sort_list[i], sort_list[0] heap_size -= 1 self._max_heapify(sort_list, 0, heap_size) return sort_list |
最后一种要说明的交换排序算法（以上所有算法都为交换排序，原因是都需要通过两两比较交换顺序）自然就是经典的快速排序。
先来讲解一下原理。首先要用到的是分区工具函数（partition），对于给定的列表（数组），我们首先选择基准元素（这里我选择最后一个元素），通过比较，最后使得该元素的位置，使得这个运行结束的新列表（就地运行）所有在基准元素左边的数都小于基准元素，而右边的数都大于它。然后我们对于待排的列表，用分区函数求得位置，将列表分为左右两个列表（理想情况下），然后对其递归调用分区函数，直到子序列的长度小于等于1。
下面是快速排序的源代码：
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class quick_sort(object): def _partition(self, alist, p, r): i = p-1 x = alist[r] for j in range(p, r): if alist[j] <= x: i += 1 alist[i], alist[j] = alist[j], alist[i] alist[i+1], alist[r] = alist[r], alist[i+1] return i+1 def _quicksort(self, alist, p, r): if p < r: q = self._partition(alist, p, r) self._quicksort(alist, p, q-1) self._quicksort(alist, q+1, r) def __call__(self, sort_list): self._quicksort(sort_list, 0, len(sort_list)-1) return sort_list |
细心的朋友在这里可能会发现一个问题，如果待排序列正好是顺序的时候，整个的递归将会达到最大递归深度（序列的长度）。而实际上在操作的时候，当列表长度大于1000（理论值）的时候，程序会中断，报超出最大递归深度的错误（maximum recursion depth exceeded）。在查过资料后我们知道，Python在默认情况下，最大递归深度为1000（理论值，其实真实情况下，只有995左右，各个系统这个值的大小也不同）。这个问题有两种解决方案，1）重新设置最大递归深度，采用以下方法设置：
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import sys sys.setrecursionlimit(99999) |
2）第二种方法就是采用另外一个版本的分区函数，称为随机化分区函数。由于之前我们的选择都是子序列的最后一个数，因此对于特殊情况的健壮性就差了许多。现在我们随机从子序列选择基准元素，这样可以减少对特殊情况的差错率。新的randomize partition函数如下：
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def _randomized_partition(self, alist, p, r): i = random.randint(p, r) alist[i], alist[r] = alist[r], alist[i] return self._partition(alist, p, r) |
完整的randomize_quick_sort的代码如下（这里我直接继承之前的quick_sort类）：
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import random class randomized_quick_sort(quick_sort): def _randomized_partition(self, alist, p, r): i = random.randint(p, r) alist[i], alist[r] = alist[r], alist[i] return self._partition(alist, p, r) def _quicksort(self, alist, p, r): if p<r: q = self._randomized_partition(alist, p, r) self._quicksort(alist, p, q-1) self._quicksort(alist, q+1, r) |
关于快速排序的讨论还没有结束。我们都知道，Python是一门很优雅的语言，而Python写出来的代码是相当简洁而可读性极强的。这里就介绍快排的另一种写法，只需要三行就能够搞定，但是又不失阅读性。（当然，要看懂是需要一定的Python基础的）代码如下：
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def quick_sort_2(sort_list): if len(sort_list)<=1: return sort_list return quick_sort_2([lt for lt in sort_list[1:] if lt<sort_list[0]]) + sort_list[0:1] + quick_sort_2([ge for ge in sort_list[1:] if ge>=sort_list[0]]) |
怎么样看懂了吧，这段代码出自《Python cookbook 第二版》，这种写法展示出了列表推导的强大表现力。
对于比较排序算法，我们知道，可以把所有可能出现的情况画成二叉树（决策树模型），对于n个长度的列表，其决策树的高度为h，叶子节点就是这个列表乱序的全部可能性为n!，而我们知道，这个二叉树的叶子节点不会超过2^h，所以有2^h>=n！，取对数，可以知道，h>=logn!，这个是近似于O(nlogn)。也就是说比较排序算法的最好性能就是O(nlgn)。
那有没有线性时间，也就是时间复杂度为O(n)的算法呢？答案是肯定的。不过由于排序在实际应用中算法其实是非常复杂的。这里只是讨论在一些特殊情形下的线性排序算法。特殊情形下的线性排序算法主要有计数排序，桶排序和基数排序。这里只简单说一下计数排序。
计数排序是建立在对待排序列这样的假设下：假设待排序列都是正整数。首先，声明一个新序列list2，序列的长度为待排序列中的最大数。遍历待排序列，对每个数，设其大小为i，list2[i]++，这相当于计数大小为i的数出现的次数。然后，申请一个list，长度等于待排序列的长度（这个是输出序列，由此可以看出计数排序不是就地排序算法），倒序遍历待排序列（倒排的原因是为了保持排序的稳定性，及大小相同的两个数在排完序后位置不会调换），假设当前数大小为i，list[list2[i]-1] = i，同时list2[i]自减1（这是因为这个大小的数已经输出一个，所以大小要自减）。于是，计数排序的源代码如下。
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class counting_sort(object): def _counting_sort(self, alist, k): alist3 = [0 for i in range(k)] alist2 = [0 for i in range(len(alist))] for j in alist: alist3[j] += 1 for i in range(1, k): alist3[i] = alist3[i-1] + alist3[i] for l in alist[::-1]: alist2[alist3[l]-1] = l alist3[l] -= 1 return alist2 def __call__(self, sort_list, k=None): if k is None: import heapq k = heapq.nlargest(1, sort_list)[0] + 1 return self._counting_sort(sort_list, k) |
各种排序算法介绍完（以上的代码都通过了我写的单元测试），我们再回到Python这个主题上来。其实Python从最早的版本开始，多次更换内置的排序算法。从开始使用C库提供的qsort例程（这个方法有相当多的问题），到后来自己开始实现自己的算法，包括2.3版本以前的抽样排序和折半插入排序的混合体，以及最新的适应性的排序算法，代码也由C语言的800行到1200行，以至于更多。从这些我们可以知道，在实际生产环境中，使用经典的排序算法是不切实际的，它们仅仅能做学习研究之用。而在实践中，更推荐的做法应该遵循以下两点：
当需要排序的时候，尽量设法使用内建Python列表的sort方法。
当需要搜索的时候，尽量设法使用内建的字典。
我写了测试函数，来比较内置的sort方法相比于以上方法的优越性。测试序列长度为5000，每个函数测试3次取平均值，可以得到以下的测试结果：
可以看出，Python内置函数是有很大的优势的。因此在实际应用时，我们应该尽量使用内置的sort方法。
由此，我们引出另外一个问题。怎么样判断一个序列中是否有重复元素，如果有返回True，没有返回False。有人会说，这不很简单么，直接写两个嵌套的迭代，遍历就是了。代码写下来应该是这样。
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def normal_find_same(alist): length = len(alist) for i in range(length): for j in range(i+1, length): if alist[i] == alist[j]: return True return False |
这种方法的代价是非常大的（平均时间复杂度是O(n^2)，当列表中没有重复元素的时候会达到最坏情况），由之前的经验，我们可以想到，利用内置sort方法极快的经验，我们可以这么做：首先将列表排序，然后遍历一遍，看是否有重复元素。包括完整的测试代码如下：
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import time import random def record_time(func, alist): start = time.time() func(alist) end = time.time() return end - start def quick_find_same(alist): alist.sort() length = len(alist) for i in range(length-1): if alist[i] == alist[i+1]: return True return False if __name__ == "__main__": methods = (normal_find_same, quick_find_same) alist = range(5000) random.shuffle(alist) for m in methods: print 'The method %s spends %s' % (m.__name__, record_time(m, alist)) |
运行以后我的数据是，对于5000长度，没有重复元素的列表，普通方法需要花费大约1.205秒，而快速查找法花费只有0.003秒。这就是排序在实际应用中的一个例子。