[LeetCode] 动态规划入门题目

最近接触了动态规划这个厉害的方法，还在慢慢地试着去了解这种思想，因此就在LeetCode上面找了几道比较简单的题目练了练手。

首先，动态规划是什么呢？很多人认为把它称作一种“算法”，其实我认为把它称作一种“思想”更为合适；利用动态规划去解决问题，其实就是逐步递推的过程，与贪心算法不同，动态规划递推的每一步都要求是当前的最优解（这是很重要的，递推的正确性依赖的就是这一点）；利用动态规划解题时，必须自己定义出来状态和状态转移方程。然而，看上去简单，做起来却非常困难，因为解题时的具体形式千差万别，找出问题的子结构以及通过子结构重新构造最优解的过程很难统一。

经典的动态规划题目有背包问题、硬币问题等等，可以通过这些题目去理解一下这个东西。

我认为，动态规划最难的就是找出状态方程。同时，个人认为比较难理解的一点是，懂得“前面每一步都是最优解”这个前提。

废话不多说，直接看看LeetCode上简单的动态规划题目。

要注意的是，下面的三题都用到了局部最优和全局最优解法：

1.Jump Game

原题地址：https://leetcode.com/problems/jump-game/description/

解法：

用一个global变量保存到目前为止能跳的最远距离，用一个local变量保存当前一步出发能跳的最远距离，这题里面的状态就是走到每一步时的global[i]值，状态转移方程就是global[i] =max{nums[i] + i, global[i-1]}。当然，写代码的时候用变量代替数组即可。

class Solution {
public:
    bool canJump(vector<int>& nums) {
    　　int reach = 0;
    　　for (int i = 0; i < nums.size() - 1 && reach >= i; i++) {
        　　reach = nums[i] + i > reach ? nums[i] + i : reach;
    　　}
    　　return reach >= nums.size() - 1;
　　}
};

2.Maximum Subarray

原题地址：https://leetcode.com/problems/maximum-subarray/description/

解法：

这一题要维护两个变量：global和local，与上面一题一样，local保存包含当前元素的最大值（局部最优），global保存的是所有情况里面的最大值（全局最优）。假设第i步的local[i]和global[i]已知，那么第i+1步的local[i + 1] = max{ nums[i] + local[i], nums[i + 1] }，global[i + 1]  = max{global[i], local[i + 1]}。代码如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
    　　int global = nums[0], local = nums[0];
    　　for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
        　　local = nums[i] > nums[i] + local ? nums[i] : nums[i] + local;
        　　global = local > global ? local : global;
    　　}       
    　　return global;
　　}
};

3.Best Time to Buy and Sell Stock

原题地址：https://leetcode.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/description/

这道题目有两种方法，其实都是动态规划：

（1）

class Solution {
public:
   int maxProfit(vector<int>& prices) {
       if (prices.size() == 0) return 0; 
    　　int maxPrice = prices[prices.size() - 1];
   　　 int res = 0;
    　　for (int i = prices.size() - 1; i >= 0; i--) {
        　　maxPrice = max(maxPrice, prices[i]);
        　　res = max(res, maxPrice - prices[i]);
    　　}
    　　return res;     
　　}
};

这种解法在这个博客里面讲得很详细：http://www.cnblogs.com/remlostime/archive/2012/11/06/2757434.html

（2）局部最优和全局最优解法：

class Solution {
public:
   int maxProfit(vector<int>& prices) {
      if (prices.size() == 0) return 0;
    　　int local = 0, global = 0;
    　　for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
        　　local = max(0, local + prices[i] - prices[i - 1]);
        　　global = max(local, global);
    　　}
   　　 return global;   
　　}
};

local = max(0, local + prices[i] - prices[i - 1])这一句，我一开始在考虑：为什么不写成local = max(local, local + prices[i] - prices[i - 1])呢？
后来想了一下，因为假如这样写，有可能得到的就不是包含当前元素的局部最优解了。所以，在“局部最优和全局最优解法”里面，永远不会出现local=local的情况。


4.Minimum Path Sum
原题地址：https://leetcode.com/problems/minimum-path-sum/description/
这道题目不需用到上面的“局部最优和全局最优”解法，只需要每次选出最优的即可。除了边界的元素，其他元素的最优都是 min{min[i - 1][j] + grid[i][j],min[i][j - 1] + grid[i][j]
}。

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int ** min  = new int*[grid.size()];
        for (int i = 0; i < grid.size(); i++) {
            min[i] = new int[grid[i].size()];
        }
        min[0][0] = grid[0][0];
        for (int i = 0; i < grid.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < grid[i].size(); j++) {
                if (i == 0 && j == 0) continue;
                else if (i == 0) min[i][j] = min[i][j - 1] + grid[i][j];
                else if (j == 0) min[i][j] = min[i - 1][j] + grid[i][j];
                else min[i][j] = min[i - 1][j] + grid[i][j] < min[i][j - 1] + grid[i][j] ? min[i - 1][j] + grid[i][j] : min[i][j - 1] + grid[i][j] ;
            }
        }
        return min[grid.size() - 1][grid[grid.size() - 1].size() - 1];
        return 0;
    }
};

5.Triangle
地址：https://leetcode.com/problems/triangle/description/
也是一道典型的dp题目，思想跟上面一题差不多：

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        if (triangle.size() == 1) return triangle[0][0];
        int ** min = new int *[triangle.size()];
        for (int i = 0; i < triangle.size(); i++) {
            min[i] = new int[triangle[i].size()];
        }
        min[0][0] = triangle[0][0];
        int res = INT_MAX;
        for (int i = 0; i < triangle.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < triangle[i].size(); j++) {
                if (i == 0 && j == 0) continue;
                else if (j == 0) min[i][j] = min[i - 1][j] + triangle[i][j];
                else if (j == triangle[i].size() - 1) min[i][j] = min[i - 1][j - 1] + triangle[i][j];
                else min[i][j] = min[i - 1][j - 1] + triangle[i][j] < min[i - 1][j] + triangle[i][j] ? min[i - 1][j - 1] + triangle[i][j] : min[i - 1][j] + triangle[i][j];
                if (min[i][j] < res && i == triangle.size() - 1) {
                    res = min[i][j];
                }
            }
        }
        return res;
    }
};

但这道题有趣的地方在于，空间复杂度可以缩小到O(n)：我们把这个三角形倒过来看，便能发现可以通过复用一个一维数组来储存最小值：

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        vector<int> min = triangle[triangle.size() - 1];
        for (int i = triangle.size() - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                min[j] = min[j] < min[j + 1] ? min[j] + triangle[i][j] : min[j + 1] + triangle[i][j];
            }    
        }
        return min[0];
    }
};