bzoj 3453 tyvj 1858 XLkxc 拉格朗日插值

 tyvj 1858 XLkxc

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Description

神犇LYD虐完HEOI之后给傻×XLk出了一题：
SHY是某国的公主，平时的一大爱好是读诗...(中间略)...结果mod p就可以了

简明题意
给定 k,a,n,d,p
f(i)=1^k+2^k+3^k+......+i^k
g(x)=f(1)+f(2)+f(3)+....+f(x)
求(g(a)+g(a+d)+g(a+2d)+......+g(a+nd))mod p

对于所有数据
1<=k<=123
0<=a,n,d<=123456789
p==1234567891

Input

第一行数据组数，(保证小于6)
以下每行四个整数 k,a,n,d

Output

每行一个结果。

Sample Input

5
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1

Sample Output

5
5
5
5
5

HINT

 

Source

 这些是很明显的，因为这个就是需要求的东西。

然后接下来怎么处理是关键。

对我来说的话，应该是手足无措的，但是某些大佬将其作差，

对于g作k+3次差分后其项为0，所以说g是一个最高项为k+2次的多项式，

对于f 作k+5次差分后其项为0，所以说f 是一个最高项为k+4次的多项式

所以说，因为k不大，所以每次O（k^2）的时间求出g，前缀和一下就可以了

然后知道了f的点值后就可以再一次k^2的时间求出n的值

复杂度是Tk^3

第64行中求值的时候取模的可以将每一项都模p，这个应该可以理解

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>

#define p 1234567891
#define N 157
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

ll a,n,d,m,k;
ll s1[N],s2[N];
ll g[N],f[N],inv[N<<1];

ll fast_pow(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if (b&1) (ans*=a)%=p;
        (a*=a)%=p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
inline ll Lagrange(ll *a,int n,ll pos)
{
    if (pos<=n) return a[pos];
    ll ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        ll s1=1,s2=1;
        for (int j=1;j<=n;j++)
            if (i!=j)
            {
                (s1*=(pos-j))%=p;
                (s2*=(i-j))%=p;
            }
        (ans+=a[i]*s1%p*fast_pow(s2,p-2))%=p;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    freopen("fzy.in","r",stdin);
    freopen("fzy.out","w",stdout);
    
    int T=read();
    while(T--)
    {
        k=read(),a=read(),n=read(),d=read();
        for (int i=1;i<=k+3;i++) g[i]=fast_pow(i,k);
        for (int i=2;i<=k+3;i++) (g[i]+=g[i-1])%=p;
        for (int i=2;i<=k+3;i++) (g[i]+=g[i-1])%=p;
        f[0]=Lagrange(g,k+3,a);
        for (int i=1;i<=k+5;i++) f[i]=Lagrange(g,k+3,(i*d+a)%p),(f[i]+=f[i-1])%=p;
        printf("%lld
",(Lagrange(f,k+5,n)+p)%p);
    }
}