汉诺塔

问题：有A,B,C三根针，将A针上N个从小到大叠放的盘子移动到C针，一次只能移动一个，不重复移动，小盘子必须在大盘子上面。总的移动次数是多少？

 

才发现题主想问的是编程……这是笔者以前写的一篇文章，纯粹解释汉诺塔的数学问题，没有直接给出编程方案，获得最高赞数也是很醉……总之能够帮到大家理解就好，具体的编程可以参考其他答主的答案。

-懒汉式递归——瞬间明白汉诺塔问题

Q. 为什么会有递归？

A. 因为我们是人，不是电脑！我们的working
memory有限！

分析：

首先明确，我们的目标是将A针上所有N个盘子移动至C针。而对于B针，我们可以将之看成一个中转站。

这个问题，顺向思维或者逆向思维道理是相同的，都太麻烦。我们不妨从中间开始思考。

||： 规则要求小盘子必须在大盘子之上。试想这个过程中，必然会经历那么一个步骤，即有一大坨N-1个盘子在B针这个中转站，而我们正将最大那个盘子（即第N个盘子）从A针移动至C针。

【图例】

只有经历“移动最大盘子”这个步骤，余下的事情才有可能实现。而在此之前，我们所要做的事情，就是让“移动最大盘子”这个步骤得以实现。

现在，游戏整个过程以“移动最大盘子”为中央，被分为了两部分。即（前）“将那坨N-1个盘子从A针移动到B针”，(中)“移动最大盘子”，(后)“将坨N-1个盘子从B针移动到C针”。

这是我们意识到，（前）与（后）操作道理是相似的。不去管那个最大盘子，（前）是以C针为中转站，（后）是以A针为中转站。因此两者所需的移动次数应当是相等的。这意味着我们只要计算出其中一者的移动次数，然而乘以2，在加上“移动最大盘子”的那1次，就是这场游戏的总移动次数了。

用数学语言表达，假设（前）“将N-1个盘子从A针移动到B针”所需次数为Hn-1，总移动次数为Hn，那么可以得出的关系就是：Hn=Hn-1
x 2 + 1.

其实当我们得出这个算式的时候，稍微聪明一点的人已经明白，这就是一个递推公式，可以直接用此公式得出Hn的通解。

但是LZ比较笨，就是不明白，为什么这个公式就可以套用呢？

那么就干脆继续思考吧。

让我们再想象一个情景：最大那个盘子在刚刚从A针被移动到C针，而那坨N-1个盘子还在B针蠢蠢欲动地等待着，即处于（中）->(后)的这个状态。

怎么移动这N-1个盘子呢？

其实这时候，问题已经回到了笔者标示“||：”符号的地方。“||：”是乐谱中的反复记号，而我们要做的，就是重复上面的步骤，但是要将N替换为N-1，因为现在只剩下N-1个盘子需要移动。而中转站则从B变成了A（鉴于这时盘子都在B针）。目标仍然是C针。下一次重复的时候，只剩下N-2个盘子需要移动，中转站又回到B，目标不变仍然是C针。……整个过程中，变化的只是中转站（在A与B之间轮换），以及剩下那些所需要移动的盘子的总数（越来越少）而已。

那么那个大盘子怎么办？不去管它吗？？

正解！！

因为你已经把它移到C针，已经完成了这个移动步骤，它不会影响之后的操作。提醒自己牢记游戏规则，大盘子永远在小盘子下面，而你也不需要再重复移动它——“不重复移动”，正是游戏规则的要求！

于是
Hn=Hn-1 x 2 + 1 这个公式，就可以套用、套用、套用……直到H3=7，H2=3，H1=1。

最后，用最懒的数学归纳法证明通项公式
Hn = 2^n - 1 吧！没办法，LZ就是比较懒嘛~

 

// 949507962@qq.com
//Sun 05 Aug 2018 10∶09∶57 PM CST
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

void move(int n, char f, char t)
{
    static int cnt = 0;
    printf("第%d次移动圆盘:把%d号圆盘从%c移动到%c
", ++cnt, n, f, t);
}

void hanoi(int num, char f, char a, char t)
{
    if(num > 0)
    {
//函数hanoi(int n,char f,char a,char t)的功能是把编号为n的圆盘借助a从f移动到t上。
        hanoi(num-1, f,t,a);
        move(num,f,t);//函数move(int n ,char N ,char M)的功能是把编号为n的圆盘从N 移到M上
        hanoi(num-1, a,f,t);
    }
}

int main(int argc, char *argv[])
{
   hanoi(64, 'F', 'A', 'T');
    return 0;
}

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

void move (int n, char from, char buffer, char to){
    if (n == 1) {
        cout << "Move" << n << " from " << from << " to " << to << endl;
    }
    else {
        move (n-1, from, to, buffer);
        move (1, from, buffer, to);
        move (n-1, buffer, from, to);
    }
}