• 算法之动态规划初步(Java版)


    概述:

      算法的重要性是不言而喻的。

      可能是你会不屑于听这样的话,是因为在我们的实际开发中,用到算法的地方真是太少了。对于这一点我并不否认,因为对于一个初级的开发者而言,算法显得太过高深了。如果我们想去实现一个功能,通常的做法就是百度或是Google。这就是为什么会有那么一句调侃之辞:我们不生产代码,我们只是代码的搬运工。

      当我们已经完成了初级开发者的这一过程时,我们应该想着怎么去优化自己的代码,从而让自己的代码更加优美,也更显B格。


    动规的使用场景:

      动态规划是对回溯算法的一种改进。

      我们知道回溯的一个致命缺点是它的重复计算,在后面的例子中我也会通过实例来说明这一点,而动规则规避了这个问题。动规的核心是状态和状态转移方程。


    示例例举及过程说明:

      1.数字三角形

        问题描述:

          有一个由非负整数组成的三角形,第一行只有一个数,除了最后一行之外每个数的左下方和右下方各有一个数。

          从第一行的数开始,每次可以往下或右下走一格,直到走到最后一行,把沿涂经过的数全部加起来。如何走才能使得这个数尽可能的大?


        思路梳理:

          对于这样一个问题,可能大家想到的第一个解法就是递归。对于递归,我们不用想太多。因为当我们想要知道第(i, j)处的最大值时,是要依赖第(i + 1, j)和第(i + 1, j + 1)个节点的最大值。以此类推,如是我们就可以使用递归和递推来实现。


        递归求解(关键代码)

    /**
         * 通过回溯法获得第(i, j)处的最大值
         * @author Aaron
         * 2015年8月2日
         */
        private static int getNodeMaxByRecall(int[][] m, int i, int j) {
            int max = Integer.MIN_VALUE;
            
            System.out.println("m[" + i + "][" + j + "]");
            
            max = m[i][j] + (i == m.length - 1 ? 0 : Math.max(getNodeMaxByRecall(m, i + 1, j), getNodeMaxByRecall(m, i + 1, j + 1)));
            
            return max;
        }
        
        /**
         * 回溯法求解
         * @author Aaron
         * 2015年8月1日
         */
        public static void calculateByRecall(int[] a) {
            int[][] m = getMatrix(a);
            
            int max = getNodeMaxByRecall(m, 0, 0);
            
            System.out.println("max[0][0] = " + max);
        }

        可以看到,递归求解时是一种自顶向下的求解方式。它是在按需去计算。

        在递归中,比如说我们的意图是去求解max(i, j),当我们知道需要求解max(i, j),就必须知道max(i + 1, j)和max(i + 1, j + 1)时,我们才去求解max(i + 1, j)和max(i + 1, j + 1).

       可是,这种按需求解的过程,无法让我们知道,再要计算的点是否已经计算过了。下面是这个程序在递归的过程中计算过的节点过程:

       

       可以看到,这里有一些节点是被重复计算的。


        递推法求解(关键代码):

    /**
         * 通过递推法获得第(i, j)处的最大值
         * @author Aaron
         * 2015年8月2日
         */
        private static int getNodeMaxByRecursion(int[][] m, int i, int j) {
            int max = Integer.MIN_VALUE;
            
            System.out.println("m[" + i + "][" + j + "]");
            
            max = m[i][j] + (i == m.length - 1 ? 0 : Math.max(m[i + 1][j], m[i + 1][j + 1]));
            
            return max;
        }
        
        /**
         * 递推法求解
         * @author Aaron
         * 2015年8月2日
         */
        private static void calculateByRecursion(int[] a) {
            int[][] m = getMatrix(a);
            
            for (int i = m.length - 1; i >= 0; i--) {
                for (int j = 0; j <= i; j++) {
                    m[i][j] = getNodeMaxByRecursion(m, i, j);
                }
            }
            
            int max = m[0][0];
            
            System.out.println("max[0][0] = " + max);
        }

        可以看到,递推求解时是一种自底向上的求解方式。它是在预先计算。

        在递推中,比如说我们的意图是去求解max(i, j),当我们知道需要求解max(i, j),就必须知道max(i + 1, j)和max(i + 1, j + 1)时,不过这个时候,我们的max(i + 1, j)和max(i + 1, j + 1)已经计算出来了,这个时候我们就不用再去计算了.

       在递推的计算过程中,因为我们是自底向上的求解,所以我们并不知道这个节点是否会被使用到,而如果这个节点需要被使用,我们也不会重复计算这个值,因为已经计算过,并已经保存下来了。不过,这个过程中,每个节点都会被计算一次,不管会不会被使用(虽然这个程序中是都被使用了)。

       

      可以看到,这里每个节点有且仅有一次被调用了。时间复杂度上就有了一些优势。


        记忆化求解(关键代码):

    /**
         * 通过记忆化搜索获得第(i, j)处的最大值
         * @author Aaron
         * 2015年8月2日
         */
        private static int getNodeMaxByMemory(int[][] m, int[][] d, int i, int j) {
            if (d[i][j] >= 0) {
                return d[i][j];
            }
            
            System.out.println("m[" + i + "][" + j + "]");
            
            d[i][j] = m[i][j] + (i == m.length - 1 ? 0 : Math.max(getNodeMaxByMemory(m, d, i + 1, j), getNodeMaxByMemory(m, d, i + 1, j + 1)));
            
            return d[i][j];
        }
        
        /**
         * 记忆化搜索
         * @author Aaron
         * 2015年8月2日
         */
        private static void calculateByMemory(int[] a) {
            int[][] m = getMatrix2(a);
            
            int[][] d = initMatrix(m.length);
            
            int max = getNodeMaxByMemory(m, d, 0, 0);
            
            System.out.println("max[0][0] = " + max);
        }

        记忆化搜索是基于递归来进行的。因为我们想做一件事,来避免之前在递归中的重复计算。在学习算法的复杂度的时候,我们知道复杂度分为两种,一种是时间复杂度,一种是空间复杂度。这两种复杂度是有一个平衡的。也就是说我们想要在时间上优化,那么空间上就得做出牺牲。这里也正是使用了牺牲空间来换取时间的优先。

        下面是各个节点被计算的过程:

       

        这里可以看到,我们的每个节点也是只被计算了一次。节省了时间。


      2.钢条切割

      问题描述:

      给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表p(i),求切割钢条的方案,使得销售收益r(n)最大。注意,如果长度为n英寸的钢条的价格为p(n)足够大,最优解可能不是完全不需要切割。

      价格表:

     

      看到这一个问题,不知道大家是不是也跟我一样,第一感觉是可以使用贪心试一下。可是细想之后又发现行不通,因为这里面如果按不同的方式切割钢条,那么切割成的两份都是可变的量,不好控制。

      按照上面的思路,我们可以使用两种方法来试着解决这一问题:

      递归(关键代码):

    /**
         * 计算长度为n的钢条的最佳切割方案(递归)
         * @author Aaron
         * 2015年8月3日
         */
        private static int getMax(int[] p, int n) {
            System.out.println(n);
            if (n <= 0) {
                return 0;
            }
            
            int max = Integer.MIN_VALUE;
            
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                max = Math.max(max, p[i - 1] + getMax(p, n - i));
            }
            
            return max;
        }
        
        /**
         * 通过递归计算钢条的切割算法
         * @author Aaron
         * 2015年8月3日
         */
        private static void calculateMaxByRecursive(int n) {
            initPriceList();
            int[] p = {1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30};
            
            int max = getMax(p, n);
            
            System.out.println("max = " + max);
        }

      记忆化搜索(关键代码):

    private static int[] getRecordArray(int n) {
            if (n <= 0) {
                return null;
            }
            
            int[] r = new int[n];
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                r[i] = Integer.MIN_VALUE;
            }
            
            return r;
        }
        
        /**
         * 计算长度为n的钢条的最佳切割方案(记忆化搜索)
         * @author Aaron
         * 2015年8月3日
         */
        private static int getMaxByMemory(int[] p, int n, int[] r) {
            if (n <= 0) {
                return 0;
            }
            
            if (r[n] >= 0) {
                return r[n];
            }
            
            System.out.println(n);
            
            int max = Integer.MIN_VALUE;
            
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                max = Math.max(max, p[i - 1] + getMaxByMemory(p, n - i, r));
            }
            
            r[n] = max;
            
            return max;
        }
        
        /**
         * 通过记忆化搜索计算钢条的切割算法
         * @author Aaron
         * 2015年8月3日
         */
        private static void calculateMaxByMemory(int n) {
            initPriceList();
            int[] p = {1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30};
            
            int[] r = getRecordArray(n + 1);
            
            int max = getMaxByMemory(p, n, r);
            
            System.out.println("max = " + max);
        }


    完整源代码下载:

    http://download.csdn.net/detail/u013761665/8957807


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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/fengju/p/6336059.html
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