非等值折半查找

折半查找也就是二叉查找，其查找时间复杂度为O(logn)，比顺序查找的效率高得多，唯一的要求就是待查表已经有序。

1、等值折半查找比较简单，算法如下：

def binarySearch(data,value):
    low = 0
    high = len(data) - 1
    while low <= high: 
        middle = (high-low) / 2 + low#这个处理可以防止整数相加溢出
        if data[middle] == value:
            return middle #找到，返回下标
        if data[middle] < value:
            low = middle + 1
        else:
            high = middle - 1
    return -1#没找到返回-1

等值折半查找需要注意几个地方：

　　1）循环条件是low <= high，不是low < high，少了=符号，会造成有些实际在data中存在的value找不到而返回-1。如下图在表中查找4

　　　　　　　

　　　　查找过程如下：

　　　　

　　　　经过两次查找后，low==high 等于1，于是跳出循环，而返回-1，事实上应该返回1，因为data[1]==4

　　2）low = middle + 1,而不是low = middle，如果写成low = middle会造成死循环。作为示例，我们在上面的data表中查找8，

　　　　查找过程如下：

　　　　

　　　　可以看到从第4次查找后，就陷入了死循环，low始终等于4。

　　3）high = middle - 1,这里跟2）类似，写成high = middle一样会导致死循环，你可以试着在data表中查找3看看。

　　4）middle = (high-low) / 2 + low，为什么不直接写成middle = (high + low) / 2，试想一下，如果high和low都是int类型，high=30000，low=20000,high+low=50000已经超出int类型的范围，你再除以2，得到的middle已经不是你想要的数了，而middle = (high-low) / 2 + low可以很好的处理这个潜在　溢出错误。

2、非等值折半查找

　　很多时候我们需要在顺序表中进行范围查找，如在data中找小于某个值的数，data[index]<value，这与等值折半查找不同，在非等值查找时，即使在有序表data中没有找到值value仍然可能返回一个下标，而不是-1，如在前面的data中查找<4.5，我们应该让折半查找返回1，因为所有i <= 1 满足data[i] < 4.5，尽管4.5不在data中。

　　事实上非等值折半查找只需要在等值折半查找上添加几个判断条件，便可以实现，以下是python算法：　　

#折半范围查找
#若查找成功，返回最大的下标，满足data[i]<value或data[i]<=value
#若不存在指定的范围，则返回-1
def binarySearch(data,compare,value):
    length = len(data)
    low = 0
    high = length - 1
    while low <= high:#等值折半查找value
        middle = (high-low) / 2 + low
        if data[middle] == value:
            break#找到value，跳出循环
        if data[middle] < value:
            low = middle + 1
        else:
            high = middle - 1
    if low <= high:#value在data中
        if compare == '<=' or compare == '>=' or compare == '=':#包含‘=’的比较，直接返回值value的下标
            return middle
        elif compare == '<':#'<'需要返回前面一个下标，有可能为-1
            return middle - 1
        else:
            #(compare == '>')    '>'需要返回后面一个下标
            if middle == length -1:#middle等于有序表长度时，表示不存在data[i]>value，返回-1
                return -1
            else:
                return middle + 1#返回后面一个下标
    else:#value不在data中，此时high = low - 1,如果查找成功，value 在(high,low)的开区间中
        if compare == '=':
            return -1#等值查找，返回-1，查找失败
        elif compare == '<' or compare == '<=':#返回区间左边端点，有可能返回-1
            return high
        else:
            #compare == '>' or compare == '>='
            if low >= length:#不存在区间，返回-1
                return -1
            else:
                return low#返回区间右端点

　　上面的算法实现了一个通用的不等值折半查找，首先进行等值折半查找找到value的位置或者区间，如在上面的表中查找<4.5，等值折半查找的区间为（high,low）= （1，2），所有找到的index为1，即返回值为1。

　　由于value是否在data中影响"<=",">="和"="的查找结果，所有分情况处理。

　　调用：　　

data = [5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16]
print binarySearch(data,'>',11)
print binarySearch(data,'<=',5)