研究错排问题的方法

枚举法[编辑]

对于情况较少的排列，可以使用枚举法^[3]。

• 当n=1时，全排列只有一种，不是错排，D₁ = 0。
• 当n=2时，全排列有两种，即1、2和2、1，后者是错排，D₂ = 1。
• 当n=3时，全排列有六种，即1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、3、1；3、1、2；3、2、1，其中只有有3、1、2和2、3、1是错排，D₃=2。用同样的方法可以知道D₄=9。
• 最小的几个错排数是：D₁ = 0，D₂ = 1，D₃=2，D₄ = 9，D₅ = 44，D₆ = 265，D₇ = 1854.^[4]

递推数列法[编辑]

对于排列数较多的情况，难以采用枚举法。这时可以用递归思想推导错排数的递回关系式。

显然D₁=0，D₂=1。当n≥3时，不妨设n排在了第k位，其中k≠n，也就是1≤k≤n-1。那么我们现在考虑第n位的情况。

• 当k排在第n位时，除了n和k以外还有n-2个数，其错排数为D_n-2。
• 当k不排在第n位时，那么将第n位重新考虑成一个新的“第k位”，这时的包括k在内的剩下n-1个数的每一种错排，都等价于只有n-1个数时的错排（只是其中的第k位会换成第n位）。其错排数为D_n-1。

所以当n排在第k位时共有D_n-2+D_n-1种错排方法，又k有从1到n-1共n-1种取法，我们可以得到：

D_n=(n-1)(D_n-1+D_n-2) ^[2]

在上面我们得到D_n=(n-1)(D_n-1+D_n-2)