配对模型

• 问题：n个人、n顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率.

• 记 $A_i = $ “第 (i) 个人拿对自己的帽子”，(i = 1,...,n.)

• 求 (P(A_1 igcup A_2 igcup ...... igcup A_n)), 不可用对立事件.

• 用加法公式：

  [P(igcup_{i = 1}^{n} A_i ) = sum_{i=1}^n P(A_i) - sum_{}^{} P(A_iA_j) + sum_{}^{} P(A_iA_jA_k) + ...... + {(-1)}^{n - 1}P(A_1A_2......A_n) ]

  上面的式子，从第二项开始，系数都是 (C_{n}^{m}), 其中，m是项数。

  易知：
  (P(A_i) = frac{1}{n}, P(A_iA_j) = frac{1}{n(n - 1)})
  (P(A_iA_jA_k) = frac{1}{n(n - 1)(n - 2)}, ......)
  (P(A_1A_2......A_n) = frac{1}{n!})

  (Rightarrow)
  (P(A_1 igcup A_2 igcup ...... A_n) = nfrac{1}{n} - C_{n}^{2}frac{1}{n(n - 1)} + ...... + (-1)^{n-1}frac{1}{n!})
  即：
  (1 - frac{1}{2!} + frac{1}{3!} - frac{1}{4!} ...... + (-1)^{n - 1}frac{1}{n!})
  (Rightarrow)
  (1 - e^{-1})

  关于这个解法的一点解释：

  1. 因为是等可能的，所以，至少有一人拿对帽子，就要从1遍历到n，当有m个人拿对帽子的时候，系数是 (C_{n}^{m}) 也就很容易理解了。
  2. 关于最后的式子的极限求和：
     根据泰勒定理，(f(x) = e^x) 在 (x = 0) 有展开式：
     [e^x = sum_{0}^{infty} frac{x^n}{n!} (|x| < infty) ]