求证：欧几里得算法（也叫辗转相除法），即：
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
证明：
前提公式：
(left . egin{array}{lcr} a = md \ b = nd \ m、n互质 end{array} ight} Leftrightarrow d是a和b的最大公约数)
设 gcd(a, b) = (d_1),
(Rightarrow left . egin{array}{lcr} a = md_1 \ b = nd_1 end{array} ight} 其中，m、n互质)
(a = bq + r_1 Rightarrow r1 = a - bq = md_1 - nqd_1 = (m - nq)d_1)
只要证明 n 与 m - nq 互质.
下面用反证法来证明 n 与 m - nq 互质：
首先，假设 n 与 (m - nq) 不互质
不妨设 (gcd(n, m - nq) = d_2)(其中，(d_2) > 1)
(Rightarrow left { egin{array}{lcr} n = xd_2 \ m - nq = yd_2 end{array} ight . 其中，x、y互质)
然后可得：(m = (y + xq)d_2) (Rightarrow) m、n不互质，这与前面的条件矛盾，故假设不成立，所以 n 与 m-nq 互质，由前提公式得，(d_1)是 b 和 (r_1) 的最大公约数，又：(d_1) 是 a 和 b 的最大公约数，所以：
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)，命题得证。