太鼓达人

https://loj.ac/problem/10110

题目描述

  有一个0、1环，有M个节点，并且满足从一个点出发顺时针K个节点所连接成的0、1串（共M个）都不相同，给出K，求最大的M和字典序最小的方案。

思路

  我们考虑已知(K)，那么二进制的排列总共有(2K)种，因此我们可以先证明，必定存在一种方案，使得(M)的排列满足这一条件。我们将(K-1)位的二进制看做点，把(K)位的二进制看做边，那么(a->b)的边即为在(a)后面加一个数字（(0)或(1)），这个二进制的后(K)位为(b)，那么这样每个点必定有两条出边和两条入边，因此必定存在欧拉回路。由此归纳，对于任意(K)，最大的(M)均为(2K)。

  接下啦考虑如何求字典序最小的方案。显然对于欧拉回路，从路径上的任意一点出发都可以，所以前(K-1)位必定是(0)，接下来进行(dfs)，我们假设访问到当前节点为(x)，那么记(x1)为在(x)后加一位(0)，(x2)为在(x)后加一位(1)。(x1)、(x2)实际就是边的编号，每次(x)的后(K-1)位就是节点编号，所以我们可以直接(dfs)字典序小的边进行访问。注意要倒序输出，因为正序访问，答案是倒着存的。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1<<13;
int ans[N],cnt,k,maxx;
bool vis[N];
void dfs(int x)
{
    int x1=(x<<1)&maxx,x2=x1+1;
    if(!vis[x1])
    {
        vis[x1]=1;
        dfs(x1);
        ans[++cnt]=0;
    }
    if(!vis[x2])
    {
        vis[x2]=1;
        dfs(x2);
        ans[++cnt]=1;
    }
}
int main() 
{
    int m;
    scanf("%d",&k);
    m=(1<<k);maxx=m-1;
    dfs(0);
    printf("%d ",m);
    for(int i=1;i<k;i++)printf("0");
    for(int i=m;i>=k;i--)
        printf("%d",ans[i]);
    return 0;
}