形式
[g(n)=sum_{k=1}^nf(k)k
]
技巧
我们记
[s(n)=sum_{k=1}^nf(k)
]
有
[egin{align*}
g(n)&=sum_{k=1}^nf(k)sum_{j=1}^k1\
&=sum_{j=1}^nsum_{k=j}^nf(k)\
&=sum_{j=1}^n(s(n)-s(j-1))\
&=ns(n)-sum_{j=0}^{n-1}s(j)
end{align*}
]
使用例
[egin{align*}
sum_{k=1}^nt^kk&=frac{t^{n+1}n-n}{t-1}-sum_{j=0}^{n-1}frac{t^{j+1}-1}{t-1}\
&=frac{t^{n+1}n-n}{t-1}-frac{1}{t-1}sum_{j=1}^nt^j+frac{n}{t-1}\
&=frac{t^{n+1}n-n}{t-1}-frac{t^{n+1}-1}{(t-1)^2}+frac{n}{t-1}\
&=frac{t^{n+2}n-t^{n+1}n-t^{n+1}+1}{(t-1)^2}
end{align*}
]
通过这种技巧，我们能套路式的解决很多形如(sumlimits_{k=1}^nf(k)k)或是(sumlimits_{k=1}^nf(k)k^2)等的问题。
另一种使用方式
在计数问题中，我们有时会遇到求方案权值和的问题。则通过这种技巧，可以把求(x=k)的个数乘(k)转化成求(xle k)的个数之和。