【XSY3947】完美串（思维/结论）

题面

完美串

题解

考虑一个完美串 (s) 应该满足什么性质。

若 (s) 中 (0) 和 (1) 数量相同，那么显然是 (01) 交错的。

否则不妨设 (1) 比 (0) 多，那么循环意义下一定有连续的 (11)，不然 (1) 不可能比 (0) 多。

又由于有连续的 (11)，那么就不能有连续的 (00)，不然这个串就不是完美串。

考虑一个 (1) 比 (0) 多的完美串 (s)，那么在循环意义下，(s) 可以被分割成若干段 (1)，而且每段 (1) 之间恰好隔着一个 (0)。

从 (s) 的每段 (1) 中删去一个 (1) 得到一个新的字符串 (t)，容易证明 (s) 是完美串当且仅当 (t) 是完美串。

(0) 比 (1) 多的情况同理。

那么假设 (s) 中有 (x) 个 (0)，(y) 个 (1)。这个过程其实相当于 ((x,y) o(x-y,y)) 或 ((x,y) o (x,y-x))，也就是辗转相减的过程，而辗转相减可以优化成辗转相除。

如果我们枚举一开始长度为 (n) 的完美串 (s) 中有 (i) 个 (0)，(n-i) 个 (1) 的话，其实我们是可以模拟这个辗转相除的过程的。也就是说，我们可以从最后的串倒推回来 (s) 长什么样。

那么我们一个一个把倒推回来的串 (s) 和题目给的串比较，看是否匹配就行了。

用 bitset优化匹配可以做到 (O(dfrac{n^3}{w})) 的时间复杂度。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>

#define un unsigned
#define N 1050

using namespace std;

namespace modular
{
	const int mod=1000000007;
	inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
	inline int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
	inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
}using namespace modular;

inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

const un int base=1145141;

int n,ans;
int a[N],b[N];
char s[N];

bitset<N>now,ss,vis;

int work(int x,int y,bool opt)
{
	if(!y)
	{
		for(int i=1;i<=x;i++) a[i]=opt;
		return x;
	}
	int t=x/y;
	int d=work(y,x-y*t,opt^1);
	int nn=y+x-y*t;
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=nn;i++)
	{
		if(a[i]!=opt)
			for(int j=1;j<=t;j++)
				b[++cnt]=opt;
		b[++cnt]=a[i];
	}
	for(int i=1;i<=x+y;i++) a[i]=b[i];
	return d;
}

void solve(int d)
{
	now.reset();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(a[i]) now.set(i);
	if((now&vis)==ss) ans++;
	for(int i=1;i<d;i++)
	{
		bool t=now[1];
		now[1]=0;
		now>>=1;
		if(t) now.set(n);
		if((now&vis)==ss) ans++;
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%s",&n,s+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(s[i]!='?')
		{
			ss.set(i,s[i]-'0');
			vis.set(i,1);
		}
	}
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		int d;
		if(i<n-i) d=work(n-i,i,1);
		else d=work(i,n-i,0);
		solve(n/d);
	}
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}
/*
4
?01?
*/
/*
10
??????????
*/