5.1特征值与特征向量
如果n阶方阵A乘以n维向量v，等于常数a乘以这个向量v，则a为方阵A的特征值，v为方阵A的特征向量。
注：特征值特征向量只针对方阵而言，可以从其维度看出；特征向量一定是非零的。
1.特征多项式
即矩阵A的λ阵的行列式，称为矩阵A的特征多项式。当特征多项式为0时，λ的值就是方阵A的特征值。
2.特征值与特征向量的求法
第一步：计算A的特征多项式：f(λ)=|λE-A|
第二步：求出特征多项式的全部根，它们就是A的全部特征值；
第三步：对于每个特征值λ0,求出相应的齐次线性方程组
（λ0E-A)x=0
的一个基础解系：η1，η2，η3，...,ηn,则A的属于特征值λ0的全部特征向量就是k1η1+k2η2+k3η3+knηn
3.特征值特征向量的性质
-一个特征向量不能属于不同特征值;
-若λ是矩阵A的特征值，α是A的属于特征值λ的特征向量，则
kλ是kA的特征值；
λm是Am的特征值；
当A可逆时，λ-1是A-1的特征值；
-n阶方阵A与其转置矩阵AT有相同的特征值。
4.设方阵A的n个特征值为λ1,λ2,λ3,...,λn,则
λ1+λ2+λ3,...+λn=tr(A);//tr()为A的迹，记A的主对角线元素之和。
λ1λ2λ3...λn=|A|
5.2相似矩阵
设A和B都是n阶方阵。如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B是相似的。
由于P是可逆矩阵，即可有各个初等矩阵乘积而来，因此A相当于进行了初等变换得到B，因此A与B也是等价的，即相似矩阵是等价的。
但是与等价不同的是，A的初等变换是左乘一个矩阵的逆，然后右乘这个矩阵，所以跟等价的变换不同，有一定的限制条件。
1.性质
-相似矩阵有相同的行列式。
|P-1AP|=|P-1||A||P|=|P-1||P||A|=|P-1P||A|=|A|=|B|
-相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆，并且当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。
（P-1AP）-1=B-1→P-1A-1P=B-1
-若A~B，则Ak~Bk，其中k为非负整数。
-若A~B，f(A)~f(B).
2.定理
相似矩阵有相同的特征多项式和完全相同的特征值。
与单位矩阵相似的n阶方阵只有单位矩阵本身；与数量矩阵kE相似的n阶方阵也只有数量矩阵kE本身。
5.3 矩阵可对角化的条件
1.定理
-n阶方阵A相似与对角阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
-方阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关；
-设λ0是n阶方阵A的一个k重特征值，则A的属于特征值λ0的特征向量中，极大线性无关组包含的向量个数不多于k个。即齐次线性方程组（λ0E-A)x=0的
基础解系包含的向量个数最多有k个。
-n阶方阵A最多有n个线性无关的特征向量。
-若n阶方阵A有n个互不相同的特征值，则A可对角化。
5.4 实对称阵的对角化
实对称矩阵A的特征值都是实数。
n阶实对称矩阵有n个实特征值（重根按重数算）
设λ0是实对称矩阵A的k重特征值，则A的属于特征值λ0的特征向量中，极大线性无关组包含的向量个数恰为k.
实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量一定是正交的。注：正交不等于线性无关！！！但是正交一定线性无关。
对于任一一个n阶实对称矩阵A，一定存在n阶正交矩阵T，使得T-1AT为对角矩阵。