• 01背包问题的动态规划算法


    01背包问题我最初学会的解法是回溯法,第一反应并不是用动态规划算法去解答。原因是学习动态规划算法的时候,矩阵连乘、最长公共子串等问题很容易将问题离散化成规模不同的子问题,比较好理解,而对于01背包问题则不容易想到将背包容量离散化抽象出子问题,从情感上先入为主也误以为动态规划算法不是解决01背包问题的好方法,实际上并不是这样的。另外,动态规划算法不对子问题进行重复计算,但是要自底向上将所有子问题都计算一遍,直到计算出最终问题的结果也就是我们要的答案,有点像爬山的感觉。

    问题描述:给定n种物品和一背包,物品i的重量是wi,其价值为vi,背包的容量为C,求能装入背包的物品的最大价值。
    用m(i,j)表示为从i到n的物品装入容量为j的背包能产生的最大价值,则能装入背包的物品最大价值为m(1,C)。
    递归式为:

     

    上面讲到,该问题是对背包的容量进行离散化,因此时间复杂度是O(nC)。

    代码如下(用的变量名可能和上面有小出入,但是是自描述的):

    #include<iostream>
    using namespace std;
    
    struct CARGO{
        int weight;
        int value;
    };
    
    const int totalWeight=10;
    const int totalNumber=5;
    CARGO goods[totalNumber]={{2,6},{2,3},{6,5},{5,4},{4,6}};
    
    //1.使用时下标都从1开始;2.遇到复杂结构的初始化用memset方法。
    int result[totalNumber+1][totalWeight+1]={0};
    
    int myMax(int i,int j)
    {
        return i>=j?i:j;
    }
    
    void dp()
    {
        int i,j;
    
        //动态规划表达式的初始化
        i=totalNumber;
        for(j=1;j<=totalWeight;j++)
        {
            if(goods[i-1].weight>j)//为保证逻辑完整性,这个if没删掉
            {
                result[i][j]=0;
            }
            else
            {
                result[i][j]=goods[i-1].value;
            }
        }
    
        for(i=totalNumber-1;i>0;i--)
        {
            for(j=1;j<=totalWeight;j++)
            {
                if(goods[i-1].weight>j)
                {
                    result[i][j]=result[i+1][j];
                }
                else
                {
                    result[i][j]=myMax(result[i+1][j],result[i+1][j-goods[i-1].weight]+goods[i-1].value);
                }
            }
        }
    }
    
    int main()
    {
        dp();
        cout<<result[1][totalWeight]<<endl;
    
        //是否理解:完成用result[totalNumber][totalWeight]表示背包最大value的代码(从前往后解决子问题的方法)。
    
        return 0;
    }


     

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