Inductive Definitions

背景呢还是背景呢

这学期学了一门Type System and Programming Language，感觉是一门很有意思的课。虽然讲的是编程语言，但是很多思想其实工作的时候可能也会用的到。记得老师有一节课说:『你们现在不学习（PL），以后就不会学了。这是你们多数人唯一的机会了』。这门课有个本科生版本的Principles of Programming Languages，多了些写代码的作业，少了点证明，可惜Fall不开。教材是老师自己写的Practical Foundations for Programming Languages，这里只写下我自己的理解，有错了欢迎讨论。

Judgement 和 Inference Rule

一个Judgement就是一组断言，比如说( au~type)，就是说( au)是一个类型。再比如(n~nat) 就是说(n)是一个自然数。从这里看其实就是一个断言。

当我们有多个Judgement的时候，我们可以推导出其余的Judgement。比如说：(a=3)并且(b=5)，那么在某些条件下面（就是多一些别的规则）我们可以推出来(a+b=8)。用正式的语言写出来就是

[frac{a=3~~b=5}{a+b=8} ]

在PL里面，可以用这种规则来定义一个类型的规则。比如

[frac{a~mathtt{nat}~~b~mathtt{nat}}{a+b~mathtt{nat}} ]

就是说，如果(a)是一个自然数，而且(b)也是一个自然数，那么(a+b)就是一个自然数。这个就是Inference Rule。
我们如下定义所有的自然数

[frac{}{z~mathtt{nat}}~~frac{n~mathtt{nat}}{mathtt{succ}(n)~mathtt{nat}} ]

这里我们首先有(0mathrel{ riangleq} z)。然后如果(n)是一个自然数，那么(succ(n))也是一个自然数。这样其实就是说(1mathrel{ riangleq} mathtt{succ}(0))，(n+1mathrel{ riangleq} mathtt{succ}(n))。
书上的另外一个例子是定义一棵树

[frac{}{mathtt{empty}~mathtt{tree}}~~frac{a_1~mathtt{tree}~~a_2~mathtt{tree}}{mathtt{node}(a_1,a_2)~mathtt{tree}} ]

就是说，如果我们有两个树，那么着两个子树可以组成另一个树。

其实这种定义的方法，在BNF里面也可以看到，比如
Exp := num | Exp + Exp 就是说一个表达式可以是一个数字也可以是两个表达式的和。

Rule Induction

如果我们要证明某个类型有某种属性，那么我们该怎么证明呢？这里就是用归纳法。
首先让我们会想下数学归纳法。数学归纳法是定义在自然数上的

• 首先证明最简单的情况是对的
• 然后假设当(n=i)的时候也是对的
• 最后证明当(n=i+1)的时候也是对的

通常(n=i+1)是定义在(n=i)上面的。
不过如果说我们有(a_{i+1} = f(a_i , a_{i-1}))那么我们再第二步还需要假设(a_{i-1})也是对的。现在让我们假设(fmathrel{ riangleq} mathtt{node})，然后我们要证明类型(tree)满足某个属性(P)，那么和数学归纳法类似，我们需要

• 证明(P(empty))，即(P)在空树上成立(类似(n=0)时，成立)
• 假设当(a_1~tree)且(a_2~tree)时，(P(a_1)) 且(P(a_2))
• 证明(P(node(a_1, a_2)))

这就是Rule Induction。其实感觉上就是数学归纳在树形结构上的推广。
最后我们证明如下一个定理来加深一下理解下：
如果(succ(s)~nat)，那么(s~nat)。

这条定理叫做inversion lemma。乍一看显然，其实还是需要证明的：

• 当(e=zero)时，因为(e)不能被写成(succ(s))的形式，所以定理成立。（初始情况）
• 假设(s)满足这条定理，当(e=succ(s))时，我们需要证明，如果(e~nat)那么(s~nat)。因为(s)满足这条定理，并且(e=succ(s)~nat)，那么我们有(s~nat)。那么(e)满足这条定理。

证明完毕。