高斯消元法

数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分费时。一些极大的方程组通常会用叠代法来解决。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。

历史　　该方法以数学家高斯命名，但最早出现于中国古籍《九章算术》，成书于约公元前150年。

例子

　　高斯消元法可用来找出下列方程组的解或其解的限制：

　　2x + y - z = 8 (L1)

　　-3x - y + 2z = -11 (L2)

　　-2x + y + 2z = -3 (L3)

　　这个算法的原理是：

　　首先，要将L1 以下的等式中的x 消除，然后再将L2 以下的等式中的y 消除。这样可使整毎方程组变成一个三角形似的格式。之后再将已得出的答案一个个地代入已被简化的等式中的未知数中，就可求出其余的答案了。

　　在刚才的例子中，我们将3/2 L1和L2相加，就可以将L2 中的x 消除了。然后再将L1 和L3相加，就可以将L3 中的x 消除。

　　我们可以这样写：

　　L2 + 3/2 L1 -> L2

　　L3 + L1 -> L3

　　结果就是：

　　2x + y - z = 8

　　1/2 y + 1/2 z = 1

　　2y + z = 5

　　现在将 − 4L2 和L3 相加，就可将L3 中的y 消除：

　　L3 + -4 L2 -> L3

　　其结果是：

　　2x + y - z = 8

　　1/2y + 1/2z = 1

　　-z = 1

　　这样就完成了整个算法的初步，一个三角形的格式(指:变量的格式而言,上例中的变量各为3,2,1个)出现了。

　　第二步，就是由尾至头地将已知的答案代入其他等式中的未知数。第一个答案就是：

　　z = -1

　　然后就可以将z 代入L2 中，立即就可得出第二个答案：

　　y = 3

　　之后，将z 和y 代入L1 之中，最后一个答案就出来了：

　　x = 2

　　就是这样，这个方程组就被高斯消元法解决了。

　　这种算法可以用来解决所有线性方程组。即使一个方程组不能被化为一个三角形的格式，高斯消元法仍可找出它的解。例如在第一步化简后，L2 及L3 中没有出现任何y ，没有三角形的格式，照着高斯消元法而产生的格式仍是一个行梯阵式。这情况之下，这个方程组会有超过一个解，当中会有至少一个变量作为答案。每当变量被锁定，就会出现一个解。

　　通常人或电脑在应用高斯消元法的时候，不会直接写出方程组的等式来消去未知数，反而会使用矩阵来计算。以下就是使用矩阵来计算的例子：

　　2 1 -1 8

　　-3 -1 2 -11

　　-2 1 2 -3

　　跟着以上的方法来运算，这个矩阵可以转变为以下的样子：

　　2 1 -1 8

　　0 1/2 1/2 1

　　0 0 -1 1

　　这矩阵叫做“行梯阵式”。

　　最后，可以利用同样的算法产生以下的矩阵，便可把所得出的解或其限制简明地表示出来：

　　1 0 0 2

　　0 1 0 3

　　0 0 1 -1

　　最后这矩阵叫做“简化行梯阵式”，亦是高斯－约当消元法指定的步骤。

其他应用

找出逆矩阵

　　高斯消元法可以用来找出一个可逆矩阵的逆矩阵。设A 为一个N * N的矩阵，其逆矩阵可被两个分块矩阵表示出来。将一个N * N单位矩阵 放在A 的右手边，形成一个N * 2N的分块矩阵B = [A,I] 。经过高斯消元法的计算程序后，矩阵B 的左手边会变成一个单位矩阵I ，而逆矩阵A - 1 会出现在B 的右手边。

　　假如高斯消元法不能将A 化为三角形的格式，那就代表A 是一个不可逆的矩阵。

　　应用上，高斯消元法极少被用来求出逆矩阵。高斯消元法通常只为线性方程组求解。

计出秩的基本算法

　　高斯消元法可应用在任何m * n的矩阵A。在不可减去某数的情况下，我们都只有跳到下一行。以一个6 * 9的矩阵作例，它可以变化为一个行梯阵式：

　　1 * 0 0 * * 0 * 0

　　0 0 1 0 * * 0 * 0

　　0 0 0 1 * * 0 * 0

　　0 0 0 0 0 0 1 * 0

　　0 0 0 0 0 0 0 0 1

　　0 0 0 0 0 0 0 0 0

　　而矩阵中的 *' 是一些数字。这个梯阵式的矩阵T 会有一些关于A的资讯：

　　A 的秩是5，因为T 有5行非0的行；

　　A 的列的向量空间，可从A 的第1、3、4、7和9列中得知，其数值在矩阵T 之中；

　　矩阵中的 *' 表示了A 的列可怎样写为列中的数的组合。

分析

　　高斯消元法的算法复杂度是O(n3)；这就是说，如果系数矩阵的是n × n，那么高斯消元法所需要的计算量大约与n3成比例。

　　高斯消元法可用在任何域中。

　　高斯消元法对于一些矩阵来说是稳定的。对于普遍的矩阵来说，高斯消元法在应用上通常也是稳定的，不过亦有例外。

伪代码

　　高斯消元法的其中一种伪代码：

　　i := 1

　　j := 1

　　while (i ≤ m and j ≤ n) do

　　Find pivot in column j, starting in row i:

　　maxi := i

　　for k := i+1 to m do

　　if abs(A[k,j]) > abs(A[maxi,j]) then

　　maxi := k

　　end if

　　end for

　　if A[maxi,j] ≠ 0 then

　　swap rows i and maxi, but do not change the value of i

　　Now A[i,j] will contain the old value of A[maxi,j].

　　divide each entry in row i by A[i,j]

　　Now A[i,j] will have the value 1.

　　for u := i+1 to m do

　　subtract A[u,j] * row i from row u

　　Now A[u,j] will be 0, since A[u,j] - A[i,j] * A[u,j] = A[u,j] - 1 * A[u,j] = 0.

　　end for

　　i := i + 1

　　end if

　　j := j + 1

　　end while

　　这个算法和之前谈及的有点儿不同，它由绝对值最大的部分开始做起，这样可以改善算法上的稳定性。将经过调换后的第一列作为起点，这算法由左至右地计算。每作出以下两个步骤，才跳到下一列：

　　1.定出每列的最后一个非0的数，将每行的数字除以该数，使到每行的第一个数成为1；

　　2.将每行的数字减去第一行的第一个数的某个倍数。

　　所有步骤完成后，这个矩阵会变成一个行梯阵式，再用代入法就可解决这个方程组。