莫比乌斯函数筛法

莫比乌斯有两种反演形式：

[egin{array}{l}
f(n) = sumlimits_{d|n} {u(d)F(frac{n}{d})} \
f(n) = sumlimits_{n|d} {u(frac{d}{n})F(d)}
end{array}]

最简单筛法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int mu[10005];
int n=10000;
void sieve(){
    mu[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=2*i;j<=n;j+=i){
            mu[j]-=mu[i];
        }
    }
}
int main(){
    sieve();
    for(int i=1;i<=100;i++){
        cout<<mu[i]<<" ";
    }
}

线性筛法：

const int maxn=60000+5;
bool vis[maxn];
int prime[maxn],mu[maxn];
void init_mu(int n){
    int cnt=0;
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<n;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[cnt++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<n;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)   {mu[i*prime[j]]=0;break;}
            else { mu[i*prime[j]]=-mu[i];}
        }
    }
}

《挑战程序设计》例题：没有周期性的字符串函数的计数，用约数的反演形式

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int mu[10005];
int n=10000;
void sieve(){
    mu[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=2*i;j<=n;j+=i){
            mu[j]-=mu[i];
        }
    }
}
int main(){
    sieve();
    while(cin>>n){
        int res=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(n%i==0){
                res+=mu[n/i]*pow(26,i);
            }
        }
        cout<<res<<endl;
    }
}

hdu1695 gcd

解法一：转化成gcd=1，用倍数的反演形式

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int mu[1050500];
int n=1000000;
void sieve(){
    mu[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=2*i;j<=n;j+=i){
            mu[j]-=mu[i];
        }
    }
}
int main(){
    sieve();
    ll t,a,b,c,d,k,ans1,ans2;
    cin>>t;
    for(int i=1;i<=t;i++){
        ans1=ans2=0;
        cin>>a>>b>>c>>d>>k;
        if(b>d) swap(b,d);
        if(k==0){
            printf("Case %d: 0
",i);
            continue;
        }
        b/=k,d/=k;
        for(int j=1;j<=b;j++){
            ans1+=mu[j]*(b/j)*(d/j);
        }
        for(int j=1;j<=b;j++){
            ans2+=mu[j]*(b/j)*(b/j);
        }
        printf("Case %d: %lld
",i,ans1-ans2/2);
    }
    return 0;
}

 解法二：其实是一种思路，就是直接运用莫比乌斯反演公式，，只是想自己多练习一下而已。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int mu[1050500];
int n=1000000;
void sieve(){
    mu[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=2*i;j<=n;j+=i){
            mu[j]-=mu[i];
        }
    }
}
int main(){
    sieve();
    ll t,a,b,c,d,k,ans1,ans2;
    cin>>t;
    for(int i=1;i<=t;i++){
        ans1=ans2=0;
        cin>>a>>b>>c>>d>>k;
        if(b>d) swap(b,d);
        if(k==0){
            printf("Case %d: 0
",i);
            continue;
        }
        for(int j=k;j<=b;j+=k){
            ans1+=(ll)mu[j/k]*(b/j)*(d/j);
        }
        for(int j=k;j<=b;j+=k){
            ans2+=(ll)mu[j/k]*(b/j)*(b/j);//注意加括号 
        }
        printf("Case %d: %lld
",i,ans1-ans2/2);
    }
    return 0;
}