1. 反常积分
1.1 反常积分的定义
定积分是定义在闭区间([a,b])上的有界函数上，这里对积分的概念作一点推广。考察积分(int_{1}^{A}dfrac{1}{x^2}\, ext{d}x=1-dfrac{1}{A})，当(A o+infty)时，积分有极限(1)。同样地，看积分(int_{varepsilon}^{1}dfrac{1}{sqrt{x}}\, ext{d}x=2-2sqrt{varepsilon})，当(varepsilon o 0)时，积分有极限(2)。
当(a)（或(b)）无界，或(f(a^-))（或(f(b^+))）无界时，我们把式（1）定义为反常积分。极限存在时，称反常积分收敛，否则称为发散的。反常的点（变量或函数无界）被称为奇点，含有有限个极点的积分仍然被称为反常积分，它可以被分割为若干独立的反常积分。
[int_{a}^{+infty}f(x)\, ext{d}x=limlimits_{A o+infty}int_{a}^{A}f(x)\, ext{d}x;quadint_{a}^{b}f(x)\, ext{d}x=limlimits_{delta o 0}int_{a}^{b-delta}f(x)\, ext{d}x ag{1}]
• 求反常积分：(int_{0}^{1}ln{x}\, ext{d}x)、(int_{0}^{1}dfrac{1}{sqrt{1-x^2}}\, ext{d}x)。
1.2 敛散性的判定
反常积分敛散性的判断，本质上就是判断极限是否存在，可以将极限的判定定理应用到反常积分。比如柯西法则在反常积分中就是说，对式（1）左的反常积分，如果对任意(varepsilon>0)，存在足够大的(A)，当(A'>A)时式（2）左成立，则反常积分收敛。同样对于式（1）右，如果对任意(varepsilon>0)，存在足够小的(delta)，使得当(0<delta'<delta)时式（2）右成立，则反常积分收敛。
[left|int_{A}^{A'}f(x)\, ext{d}x ight|<varepsilon;quadleft|int_{b-delta}^{b-delta'}f(x)\, ext{d}x ight|<varepsilon ag{2}]
另外一方面，级数也是极限的一种表现形式，设有单调数列(b_n o b)（(b)为奇点，(a=b_0)），则反常积分收敛的充要条件是，式（3）中的级数收敛。这就把反常积分转化成了级数问题，级数中的一些判别法也可以应用到这里。比如对于(f(x)geqslant g(x)geqslant 0)，根据正项级数的比较判别法，可以得到(f(x),g(x))反常积分的敛散性关系。比较判定法也有极限形式，当(dfrac{f(x)}{g(x)})的极限存在时，容易有类似的敛散性关系。另外也可以定义绝对收敛和条件收敛，这里不作赘述。
[int_{a}^{b}f(x)\, ext{d}x=sumlimits_{n=0}^{+infty}int_{b_n}^{b_{n+1}}f(x)\, ext{d}x ag{3}]
级数中对乘法的级数有非常重要的结论（阿贝尔判别法和狄利克雷判别法），那么(f(x)g(x))反常积分是否有类似的结论呢？注意到这两种判别法都有一个级数局部和的条件，和另一个级数单调的条件，对应到这里应该是一个函数积分的条件，和另一个函数单调性的条件。这两个条件容易让我们想到积分第二中值定理（请回顾定理），利用柯西法则和中值定理容易得到相应的结论。
阿贝尔判别法就是说：如果反常积分(int_{a}^{b}f(x)\, ext{d}x)收敛，(g(x))在((a,b))上单调有界，则反常积分(int_{a}^{b}f(x)g(x)\, ext{d}x)收敛。狄利克雷判别法就是说：如果反常积分(int_{a}^{b}f(x)\, ext{d}x)有界，(g(x))在((a,b))上单调趋于(0)，则反常积分(int_{a}^{b}f(x)g(x)\, ext{d}x)收敛。
• 判断敛散性：(int_{0}^{+infty}xsin{x}\, ext{d}x)、(int_{1}^{+infty}dfrac{sin{x}}{xsqrt{1+x^2}}\, ext{d}x)、(int_{1}^{+infty}dfrac{sin{x}}{x}\, ext{d}x)。
1.3 反常积分的计算
根据定义，反常积分的求解可以转化为正常的定积分和一个求极限运算，定积分的一些结论同样可以扩展到反常积分中。比如反常积分积分的四则运算（略），再比如反常积分的分部积分公式（4）（要求(u(x),v(x))都有连续导数）。
[int_a^bu(x)\, ext{d}v(x)=[\,u(x)v(x)\,]left. ight|_a^b-int_a^bv(x)\, ext{d}x ag{4}]
还有就是积分的换元法，但先要弄清换元法成立的条件。对一般定积分，设(f(x))是([a,b])上的连续函数，(x=varphi(t))定义在([alpha,eta])上，且有(varphi'(t))连续和(a=varphi(alpha),b=varphi(eta))，则有换元公式（5）成立。对于反常积分（比如(b,eta)是奇点），对定义域上的(b_0=varphi(eta_0))也有换元法成立。要使式（5）两边都成立，还要(b_0 o b)和(eta_0 o eta)同时成立，这就另外要求(varphi(t))是单调的，它是（5）对反常积分成立的额外条件。
[int_a^bf(x)\, ext{d}x=int_{alpha}^{eta}f(varphi(t))varphi'(t)\, ext{d}t ag{5}]
• 计算反常积分：(int_{0}^{+infty}(ln{x})^n\, ext{d}x)、(int_{a}^{b}dfrac{ ext{d}x}{sqrt{(x-a)(b-x)}})、(int_{0}^{+infty}dfrac{ ext{d}x}{1+x^4})。
2. 含参积分
在函数项级数里，我们讨论了极限（或级数）与其它运算交换的条件，从而极限问题转化为了其它问题。类似的，这里开始讨论积分与其它运算的关系，并希望能得到各类运算间的自由转换。在函数序列（或级数）中，(n)是变量，(x)其实是一个参数，研究的方法就是讨论(f(x))（或(S(x))）的分析性质。同样的，这里我讨论的对象是式（1）的含参积分，通过分析(I(y))的分析性质研究积分与其它运算的交换。
[I(y)=int_{a}^{b}f(x,y)\, ext{d}x ag{6}]
2.1 含参正常积分
为简单起见，我们考察(D=[a,b] imes[c,d])上的二元函数(f(x,y))，它对对任何(y)在([a,b])上都正常可积。先看(I(y))的连续性，就是要证(limlimits_{y o y_0}int_{a}^bf(x,y)\, ext{d}x=int_{a}^bf(x,y_0)\, ext{d}x)。为了体现运算的交换性，我们再假定(f(x,y))在(D)上是连续的，连续性就是式（7）。
[limlimits_{y o y_0}int_{a}^bf(x,y)\, ext{d}x=int_{a}^blimlimits_{y o y_0}f(x,y)\, ext{d}x ag{7}]
这个式子和函数项级数中的极限函数的积分公式有几份相像，只不过把数列极限换成了实数极限。这就启发我们把函数项极限扩展到一般的函数极限，先是函数极限的一致收敛定义和各种判别法，再有极限函数的连续性、可微性和可导性。论证和结论都是类似的，这里就不再赘述了。另外容易证明，(D)上的连续函数(f(x,y))对(y o y_0)是一致收敛的，由可微性知式（7）成立。
再来看(I(y))的可微性，首先有式（8）左成立，为了得到导数的表达式，我们再假定(f_y(x,y))在(D)上是连续的。由微分中值定理可得到式（8）右，两边取极限便得到式（9），这就证明了(I(y))的可微性。
[dfrac{I(y+varDelta y)-I(y)}{varDelta y}=int_{a}^{b}dfrac{f(x,y+varDelta y)-f(x,y)}{varDelta y}\, ext{d}x=int_{a}^{b}f_y(x,y+ hetavarDelta y)\, ext{d}x ag{8}]
[[\,int_{a}^{b}f(x,y)\, ext{d}x\,]'=int_{a}^{b}f_y(x,y)\, ext{d}x ag{9}]
最后来看(I(y))的可积性，由于(I(y))是连续的，故积分(int_c^d(y)\, ext{d}y)是存在的。接下来讨论两个积分的可交换性，先记(S_1(u),S_2(u))为式（10），由于(S_1(c)=S_2(c))，于是只要证(S'_1(u)=S'_2(u))。首先容易有(S'_1(u)=I(u))，另外记(F(x,u)=int_{c}^{u}f(x,y)\, ext{d}y)，易知(F,F'_u)在(D)上连续。将(F(x,u))带入式（9）便有(S'_2(u)=I(u))，从而(S'_1(u)=S'_2(u))，式（11）得证。
[S_1(u)=int_{c}^{u} ext{d}yint_{a}^{b}f(x,y)\, ext{d}x;quad S_2(u)=int_{a}^{b} ext{d}xint_{c}^{u}f(x,y)\, ext{d}y ag{10}]
[int_{c}^{d} ext{d}yint_{a}^{b}f(x,y)\, ext{d}x=int_{a}^{b} ext{d}xint_{c}^{d}f(x,y)\, ext{d}y ag{11}]
最后顺便提一下式（12）中的含参积分，设(f(x,y),alpha(y),eta(y))都是连续的。首先通过换元(x=talpha(y)+(1-t)eta(y))，可以证明(J(y))的连续性。如果再假设(f_y(x,y))是连续的，且(alpha(y),eta(y))可导，视(u=alpha(y),v=eta(y))为中间变量，根据复合函数的求导法则知式（13）成立，(J(y))的可微性得证。
[J(y)=int_{alpha(y)}^{eta(y)}f(x,y)\, ext{d}x ag{12}]
[J'(y)=int_{alpha(y)}^{eta(y)}f_y(x,y)\, ext{d}x+f(eta(y),\,y)cdoteta'(y)-f(alpha(y),\,y)cdotalpha'(y) ag{13}]
• 求积分(int_0^1dfrac{x^b-x^a}{ln{x}}\, ext{d}x)、(int_0^adfrac{ln{1+ax}}{1+x^2}\, ext{d}x)。
2.2 含参反常积分
2.2.1 一致收敛
当式（6）中的积分为反常积分时，由于反常积分本身就有极限的含义，一致收敛函数的分析性质不再适用。即使是(D)上的连续函数，运算交换的结论也不一定成立，比如考察函数(f(x,y)=ye^{-xy})，当(y o 0)时函数在([0,+infty))上一致收敛于(0)，故极限函数在([0,+infty))上的积分为(0)。但(y e 0)时，积分(int_0^{+infty}ye^{-xy}\, ext{d}x=1)，极限和积分运算不能交换。
假设(b)为奇点，积分(I(y))本身就是关于(y)的函数极限（式（14））。我们要讨论(I(y))的分析性质，其实只需要求函数(F(b',y))关于(y)一致收敛，为此把这个一致收敛定义为(int_{a}^{b}f(x,y)\, ext{d}x)的一致收敛。由定义知，一致收敛的等价条件是式（15）成立，利用该式可以证明(int_0^{+infty}ye^{-xy}\, ext{d}x)在([c,+infty))上一致收敛（(c>0)），但在([0,+infty))上不一致收敛。
[I(y)=int_a^bf(x,y)\, ext{d}x=limlimits_{b' o b}int_a^{b'}f(x,y)\, ext{d}x=limlimits_{b' o b}F(b',y) ag{14}]
[supleft|int_{b'}^bf(x,y)\, ext{d}x ight| o 0,quad(b' o b) ag{15}]
你可以自己给出(int_{a}^{b}f(x,y)\, ext{d}x)一致收敛的柯西准则，并由此得到(M)-判别法：如果在([a,b])上有(|f(x,y)|leqslantvarphi(x))，且(int_{a}^{b}varphi(x)\, ext{d}x)收敛，则(int_{a}^{b}f(x,y)\, ext{d}x)一致收敛。
对于式（16）中的反常积分，利用柯西准则和积分第二中值定理，同样可以证明以下两个判别法。阿贝尔判别法是说：如果(int_{a}^{b}f(x,y)\, ext{d}x)一致收敛，(g(x,y))关于每个(x)单调（方向可不同）且关于(y)一致有界，则式（16）一致收敛。而狄利克雷判别法是说：如果(int_{a}^{b}f(x,y)\, ext{d}x)关于(y)一致有界，(g(x,y))关于每个(x)单调（方向可不同）且在(x o b)时一致收敛于(0)，则式（16）一致收敛。
• 判断一致收敛性：(int_0^{+infty}dfrac{y}{1+y^2x^2}\, ext{d}x)、(int_0^{+infty}xe^{-x^2}cos{yx}\, ext{d}x)、(int_0^{+infty}e^{-ax}dfrac{sin{x}}{x}\, ext{d}x)、(int_0^{+infty}dfrac{sin{ax}}{a+x}\, ext{d}x)。
2.2.2 分析性质
有了一致收敛的概念，(I(y))的连续性、可微性和可导性都可以照搬过来。为保证(F(b',y))对(y)的连续性，先假设(f(x,y))是连续的，当反常积分(int_{a}^{b}f(x,y)\, ext{d}x)一致收敛时，自然就连续性成立（式（7））。例外，如果(f(x,y))还是同号连续的，且收敛函数(I(y))在([c,d])上连续，则由迪尼定理知(int_{a}^{b}f(x,y)\, ext{d}x)一致收敛。
回顾函数序列连续性的结论，还有一个条件很弱的结论，对应到这里就是：（1）(F(b',y))在(b' o b)时关于(y)一致收敛于(I(y))；（2）对每个(b')，当(y o y_0)时(F(b',y))存在极限(S(b'))。如果（1）（2）成立，那么有(limlimits_{y o y_0}I(y)=limlimits_{b' o b}S(b'))，详细地就是式（16）。为了得到式（7），只需将式（16）中的(y o y_0)与积分互换，这就额外要求(f(x,y))在(xin[a,b'])上连续且当(y o y_0)时一致收敛。为此式（7）的一个弱化条件总结为：（1）(f(x,y))关于(x)连续；（2）(limlimits_{y o y_0}f(x,y))在任何([a,b'])上一致收敛；（3）(int_{a}^{b}f(x,y)\, ext{d}x)关于(y)一致收敛。
[limlimits_{y o y_0}int_{a}^bf(x,y)\, ext{d}x=limlimits_{b' o b}limlimits_{y o y_0}int_{a}^{b'}f(x,y)\, ext{d}x ag{16}]
(I(y))的可微性是说：如果(F(b',y))有对(y)的连续导数，且导函数(F_y(b',y))关于(b')一致收敛，则有(I'(y)=limlimits_{b' o b}F_y(b',y))。现在把条件和结论转化为对(f(x,y))的直接描述，有连续导数的条件可以用(f(x,y),f_y(x,y))连续来满足，一致收敛性可以用(int_{a}^{b}f(x,y)\, ext{d}x)一致收敛来满足，而由(f_y(x,y))的连续性可将结论改为式（7）。
(I(y))的可积性是说：如果(F(b',y))关于(b')一致收敛，且对任何(b')都可积，则有式（11）成立。条件首先是说(int_{a}^{b}f(x,y)\, ext{d}x)一致收敛，可积性可以用(f(x,y))连续来满足。但这个可积性条件是针对闭集([c,d])的，如果(d)（或(c)）也是奇点，现在来讨论式（11）成立的条件。首先默认(f(x,y))是连续的，然后假设对任何(d’in [c,d])都有(int_{a}^{b}f(x,y)\, ext{d}x)在(yin [c.d'])上一致收敛，则有式（17）成立。
[limlimits_{d' o d}int_{c}^{d'}\, ext{d}yint_{a}^{b}f(x,y)\, ext{d}x=limlimits_{d' o d}int_{a}^{b}\, ext{d}xint_{c}^{d'}f(x,y)\, ext{d}y=limlimits_{d' o d}int_{a}^{b}G(x,d')\, ext{d}x ag{17}]
要得到式（11），就是说式（17）最后一个表达式中极限和积分可交换，所以只需(G(x,d'))满足刚才讨论连续性的(3)个弱化条件。(G(x,d'))关于(x)连续是当然满足的，(limlimits_{d' o d}G(x,d'))在任何(xin[a,b'])上一致收敛就是说：对任何(b'in [a,b])都有(int_{c}^{d}f(x,y)\, ext{d}y)在(xin [a,b'])上一致收敛。最后一个条件是说(int_{a}^{b}G(x,d')\, ext{d}x)一致收敛，也就是(limlimits_{b' o b}int_{b'}^bG(x,d')\, ext{d}x)一致趋于零，这一点可以用式（18）左的收敛性来满足。
(b,d)都是奇点时，条件可以是对称的，整理以上讨论便知式（11）成立的充分条件是：（1）(f(x,y))连续；（2）(int_{a}^{b}f(x,y)\, ext{d}x)关于(y)在任何([c,d'])上一致收敛，(int_{c}^{d}f(x,y)\, ext{d}y)关于(x)在任何([a,b'])上一致收敛；（3）式（18）中有一个累次积分收敛。
[int_a^b\, ext{d}xint_c^d|f(x,y)|\, ext{d}y;quadint_c^d\, ext{d}yint_a^b|f(x,y)|\, ext{d}x ag{18}]
2.2.3 求反常积分
灵活运用一致收敛的含参反常积分的分析性质，可以求得一些反常积分的值，该部分技巧性较强，这里仅举几个有代表性的例子。很多经典的解法让人觉得很神奇，需要分析求积函数的特点，适当地引入变量，利用运算的交换性得到一些等式关系，从而间接地求得积分。
累次积分的交换是比较简单的一种场景，比如积分(int_0^{+infty}dfrac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}sin{x}\, ext{d}x)，其中(b>a>0)。由于(dfrac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}=int_a^be^{-xy}\, ext{d}y)，再由于(int_0^{+infty}e^{-xy}sin{x}\, ext{d}x)一致收敛，交换积分顺序即可得到结果。最后的计算需要用到式（19），它可以通过分部积分法求得。
[int_0^{+infty}e^{-alpha x}sin{x}\, ext{d}x=dfrac{1}{1+alpha^2};quadint_0^{+infty}e^{-alpha x}cos{x}\, ext{d}x=dfrac{alpha}{1+alpha^2}quad ag{19}]
现在来看积分(int_0^{+infty}dfrac{sin{x}}{x}\, ext{d}x)，我们要试图消除分母中(x)的影响（(sin{x})很难消除），再联系到式（19），先尝试解式（20）左的积分（用导数消除(x)）。易证(I(y))在([0,+infty))上一致收敛，利用式（9）可算得(I'(y)=-dfrac{1}{1+y^2})，另外容易有(limlimits_{y o +infty}I(y)=0)。故得到(I(y)=dfrac{pi}{2}-arctan{y})，原积分其实就是(I(0)=dfrac{pi}{2})（式（20）右）。
[I(y)=int_0^{+infty}e^{-xy}dfrac{sin{x}}{x}\, ext{d}x;quadint_0^{+infty}dfrac{sin{x}}{x}\, ext{d}x=dfrac{pi}{2} ag{20}]
再比如积分(K=int_0^{+infty}e^{-x^2}\, ext{d}x)，指数中的平方让人束手无策。一种思路是构造出(xe^{-x^2})的形式，为此先将(K)改写为(int_0^{+infty}ue^{-u^2t^2}\, ext{d}t)。然后有式（21）的变形，证明好一致性性的条件后就可以交换积分，并得到积分的值（式（23））。另一个思路其实是运用了(sqrt{x})导数的形式特点，考察式（22）的变形，最后的系数也隐藏了未积分的(K)。为此考虑对(y)求积分，也就是说考察积分(I(y)=int_0^{+infty}dfrac{e^{-y(1+x^2)}}{1+x^2}\, ext{d}x)，请自行论证。
[K^2=int_0^{+infty}Ke^{-u^2}\, ext{d}u=int_0^{+infty}\, ext{d}uint_0^{+infty}ue^{-(1+t^2)u^2}\, ext{d}t ag{21}]
[int_0^{+infty}e^{-y(1+x^2)}\, ext{d}x=dfrac{e^{-y}}{sqrt{y}}int_0^{+infty}e^{-yx^2}sqrt{y}\, ext{d}x=dfrac{e^{-y}}{sqrt{y}}K ag{22}]
[int_0^{+infty}e^{-x^2}\, ext{d}x=dfrac{sqrt{pi}}{2} ag{23}]
最后来看积分(int_0^{+infty}e^{-x^2}cos{2x}\, ext{d}x)，关键仍然是处理(x^2)，为此令(f(x,y)=e^{-x^2}cos{2xy})，证明完(I(y)=int_0^{+infty}f(x,y)\, ext{d}x)的一致性后，便可计算得(I'(y)=-2yI(y))。解微分方程并由式（23）得到(I(y)=dfrac{sqrt{pi}}{2}e^{-y^2})，最终得到所求积分（式（24））。
[int_0^{+infty}e^{-x^2}cos{2x}\, ext{d}x=dfrac{sqrt{pi}}{2e} ag{24}]
【全篇完】