简介
流体力学数值方法 中介绍的方法
流程
考虑算子方程 L(u) = f u (in) D
定义域D是满足齐次边界条件的，具有和微分算子L先适应的连续可微性要求的函数空间。如果微分方程具有非齐次边界条件，则需要现寻找一个满足非齐次边界条件的特解，然后将微分方程转化为齐次边界条件的算子方程。
Ritz--Galerkin法解题基本步骤如下：
- 写出积分表达式
根据上两节的分析，不论是从变分原理导出的变分表达式，还是采用Galerkin法导出的的加权余量几分式，都可以归结于下面的积分表达式
[egin{equation*}
int_{Omega} left[ L(u) - f
ight]delta udOmega = 0 \, (1-83)
end{equation*}
]
- 在D内选取基函数序列{(phi_i)}(i=1,2...)。这个基函数的线性组合可以任意精度地逼近D中任何一个函数。
- 将方程的近似解表示为n个基函数的线性组合，构成n级近似解
[u_n = sum_{j=1}^{n} alpha_j phi_j \,(1-84)
]
式中(alpha_j)(j=1,2...n)是待定系数。积分式中的变分量 (delta u) 是积分式中的权函数
[delta u = phi_i (i=1,2...n) \,(1-85)
]
- 将式(1-84)和式（1-85）代入式（1-83），即构成以 (alpha_1 、alpha_2 ... alpha_n) 为未知量的n个代数方程
[egin{equation*}
int_{Omega} L left( sum^{n}_{j=1} alpha_{j} phi_{j}
ight) phi_{i} d Omega = int_{Omega} fphi_i dOmega \, (1-86) (i = 1,2,...n)
end{equation*}
]
如果L是线性算子，则式（1-86）是n阶线性代数方程组
[A_{ij}alpha_j = b_i (i=1,2,...n) \, (1-87a) \
A_{ij} = int_{Omega} L(phi_j)phi_jdOmega \, (1-87b) \
b_i = int_{Omega} f phi_i dOmega \, (1-87c)
]
- 求解代数方程组式（1-86）或（1-87），即可获得近似解式（1-84）中的各个系数(alpha_1 、alpha_2 ... alpha_n)。带入（1-84）中获得近似解 (u_n) 的表达式。