数论--中国剩余定理

中国剩余定理：

国务院：中国油气人均剩余可采存储量仅为世界平均的6%...

咳咳，不对，不是这个

中国剩余定理，又名孙子定理：

听说过韩信点兵吗？

韩信带1500名兵士打仗，战死四五百人，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。韩信很快说出人数：1049。

韩信一定是读过《孙子算经》的，

书里面有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”

也就是：

一堆物品，

3个3个分剩2个，

5个5个分剩3个，

7个7个分剩2个，

问这个物品有多少个？

解这题，我们需要构造一个答案

我们需要构造这个答案

5*7*inv(5*7,  3) % 3  =  1

3*7*inv(3*7,  5) % 5  =  1

3*5*inv(3*5,  7) % 7  =  1

这3个式子对不对，别告诉我逆元你忘了(*´∇｀*)，忘了的人请翻阅前几章复习

然后两边同乘你需要的数

2 * 5*7*inv(5*7,  3) % 3  =  2

3 * 3*7*inv(3*7,  5) % 5  =  3

2 * 3*5*inv(3*5,  7) % 7  =  2

令 

a = 2 * 5*7*inv(5*7,  3) 

b = 3 * 3*7*inv(3*7,  5) 

c = 2 * 3*5*inv(3*5,  7) 

那么

a % 3 = 2

b % 5 = 3

c % 7 = 2

其实答案就是a+b+c

因为

a%5 = a%7 = 0 因为a是5的倍数，也是7的倍数

b%3 = b%7 = 0 因为b是3的倍数，也是7的倍数

c%3 = c%5 = 0 因为c是3的倍数，也是5的倍数

所以

(a + b + c) % 3 = (a % 3) + (b % 3) + (c % 3) = 2 + 0 + 0 = 2

(a + b + c) % 5 = (a % 5) + (b % 5) + (c % 5) = 0 + 3 + 0 = 3

(a + b + c) % 7 = (a % 7) + (b % 7) + (c % 7) = 0 + 0 + 2 = 2

你看你看，答案是不是a+b+c(｡･ω･)ﾉﾞ，完全满足题意

但是答案，不只一个，有无穷个，每相隔105就是一个答案（105 = 3 * 5 * 7）

根据计算，答案等于233,233%105 = 23

如果题目问你最小的那个答案，那就是23了

（233怎么算的呢？

    a=2*5*7*2=140;

    b=3*3*7*1=63;

    c=2*3*5*1=30;

　140+63+30=233;

   hhh2333333333333333,答案233出来了吧，hhh,不会算逆元的小伙伴该回去复习逆元了！）

以下抄自百度百科

中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

 

中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，

 方程组(S)

有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设

 

是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设

 

是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。

设

 

这个就是逆元了

  

通解形式为

  

在模M的意义下，方程组(S)只有一个解：

 

 

那么代码来了：

#include<cstdio>

typedef long long LL;

LL inv(LL t, LL p) {//求t关于p的逆元 
    if(t>=p)
    t=t%p;
    return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
}

//n个方程：x=a[i](mod m[i]) (0<=i<n)
LL china(int n, LL m[], LL a[]){
    LL M = 1, ret = 0;
    for(int i = 0; i < n; i ++) M *= m[i];
    for(int i = 0; i < n; i ++){
        LL w = M / m[i]; 
        ret = (ret + w * inv(w, m[i]) * a[i]) % M;
    }
    return (ret + M) % M;
}
int main(){
    int n;
    LL m[2000],a[2000];
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&m[i],&a[i]);
     } 
     printf("%lld
",china(n,m,a));
}

3个式子：

x%3=2

x%5=3

x%7=2

求x;

运行程序，输入

3

3 2

5 3

7 2

试试看答案是不是23

告诉你一个好消息，上面这个中国剩余定理只是基础，2333333333，是要求m数组里面的元素两两互质的！

那如果不一定是呢？怎么办？

上模板吧：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> PLL;

LL inv(LL t, LL p) {//求t关于p的逆元 
    if(t>=p)
    t=t%p;
    return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
}

PLL linear(LL A[], LL B[], LL M[], int n) {//求解A[i]x = B[i] (mod M[i]),总共n个线性方程组 
    LL x = 0, m = 1;
    for(int i = 0; i < n; i ++) {
        LL a = A[i] * m, b = B[i] - A[i]*x, d = __gcd(M[i], a);
        if(b % d != 0)  return PLL(0, -1);//答案不存在，返回-1 
        LL t = b/d * inv(a/d, M[i]/d)%(M[i]/d);
        x = x + m*t;
        m *= M[i]/d;
    }
    x = (x % m + m ) % m;
    return PLL(x, m);//返回的x就是答案，m是最后的lcm值 
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    LL a[2017],b[2017],m[2017];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&m[i]);
    }
    PLL pa=linear(a,b,m,n);
    printf("%lld
",pa.first);
}

1*x=2(%3)

1*x=3(%5)

1*x=2(%7)

输入：

3

1 2 3

1 3 5

1 2 7

输出：

23

有兴趣的可以去试试这道题

poj 2891

http://poj.org/problem?id=2891