【正睿2019暑假集训】正睿891 蔡老板与豪宅

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前置知识：fwt

提前约定：设(S_i)表示装修队(i)能装修的点集；(E_i)表示装修队(i)能装修的边集，也就是(S_i)这个点集所生成的完全图的边集。

因为装修队的数量(m)很小，考虑状压DP。设(dp[s])表示已经请了集合(s)里的这些装修队，能实现的最大花费。

考虑预处理出(f[s])表示集合(s)里的装修队，能装修的边集的并的大小。也就是(f[s]=left|igcup_{iin s}E_i ight|)。那我们的DP就可以有如下转移：

[dp[s]=max_{iin s}{dp[ssetminus i]+ ext{cost}_i(f[s]-f[ssetminus i])} ]

其中(i)表示枚举新添加了哪个装修队。( ext{cost}_i(e))表示装修队(i)，新装修了(e)条边，所收取的费用，也就是( ext{cost}_i(e)=(a_ie^2+b_ie+c_i)mod2^{32})。

DP的时间复杂度是(O(2^mm))，可以接受。于是问题转化为求(f[s])。

考虑容斥：

[egin{align} f[s]&=left|igcup_{iin s}E_i ight|\ &=sum_{s'subseteq s}(-1)^{|s'|+1}left|igcap_{iin s'}E_i ight| end{align} ]

发现(left|igcap_{iin s'}E_i ight|)（也就是“边集交”）的大小，之和点集交有关。具体来说，设(g[s])表示集合(s)里的装修队，能装修的点集的交的大小，也就是(g[s]=left|igcap_{iin s}S_i ight|)。那么(left|igcap_{iin s'}E_i ight|={g[s]choose 2})。

如果知道了(g)，那么求(f)，就相当于做高维前缀和，可以用fwt or卷积，在(O( ext{len}log ext{len})=O(2^mm))的时间里实现。于是问题进一步转化为求(g)。

因为点太多了，枚举每个(s)，再求“点集交”显然不行。考虑每个点对(g)的贡献。每个点(u)，会对应一个能装修到它的装修队集合(t_u)。发现如果(s)是(t_u)的子集，则点(u)会对(g[s])产生(1)的贡献：表示点(u)在集合(s)的“点集交”里。于是我们可以构造出一个(g'[s]=sum_{u=1}^{n}[t_u=s])，然后对(g')做高维后缀和（fwt and 卷积），就可以得到(g)了。

至此，我们以(O(2^mm))的时间复杂度解决了本题。回顾一下过程：先求出“点集交”(g)（考虑每个点的贡献，fwt and卷积），再求出“边集并”(f)（容斥），最后做一个简单的状压DP。

参考代码：

//problem:ZR891
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define pb push_back
#define mk make_pair
#define lob lower_bound
#define upb upper_bound
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())

typedef unsigned int uint;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;

template<typename T>inline void ckmax(T& x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T>inline void ckmin(T& x,T y){x=(y<x?y:x);}

const int MAXN=2e5,MAXM=20;
int n,m;
struct CostCalculater{
	uint a,b,c;
}cost[MAXM+5];
vector<int>nodes[MAXM+5];
int companies[MAXN+5],g[1<<MAXM];
ll f[1<<MAXM],dp[1<<MAXM];
int bitcnt[1<<MAXM];
/*
g[s]: s里的这些装修队,它们的点集交的大小
f[s]: s里的这些装修队,它们的边集并的大小
dp[s]: 已经请了s里的这些装修队,能实现的最大花费
*/
template<typename T>
void fwt_and(T* a,int n,T flag){
	for(int i=1;i<n;i<<=1){
		for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){
			for(int k=0;k<i;++k){
				a[j+k]+=a[j+k+i]*flag;
			}
		}
	}
}
template<typename T>
void fwt_or(T* a,int n,T flag){
	for(int i=1;i<n;i<<=1){
		for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){
			for(int k=0;k<i;++k){
				a[j+k+i]+=a[j+k]*flag;
			}
		}
	}
}

int main() {
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		cin>>cost[i].a>>cost[i].b>>cost[i].c;
		int sz;cin>>sz;
		nodes[i].resize(sz);
		for(int j=0;j<sz;++j){
			cin>>nodes[i][j];
			companies[nodes[i][j]]|=(1<<(i-1));
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		g[companies[i]]++;
	fwt_and(g,1<<m,1);
	g[0]=0;
	for(int i=1;i<(1<<m);++i){
		bitcnt[i]=bitcnt[i>>1]+(i&1);
		f[i]=(ll)((bitcnt[i]&1)?1:-1)*g[i]*(g[i]-1)/2;
	}
	fwt_or(f,1<<m,1LL);
	for(int i=1;i<(1<<m);++i){
		for(int j=1;j<=m;++j)if((i>>(j-1))&1){
			uint e=(f[i]-f[i^(1<<(j-1))]) % (1LL<<32);
			uint c=(cost[j].a*e*e+cost[j].b*e+cost[j].c);
			ckmax(dp[i],dp[i^(1<<(j-1))]+c);
		}
	}
	cout<<dp[(1<<m)-1]<<endl;
	return 0;
}