平衡二叉树(Balanced binary tree)是由阿德尔森-维尔斯和兰迪斯(Adelson-Velskii and Landis)于1962年首先提出的，所以又称为AVL树。
定义：平衡二叉树或为空树,或为如下性质的二叉排序树:
（1）左右子树深度之差的绝对值不超过1;
（2）左右子树仍然为平衡二叉树.
平衡因子BF=左子树深度－右子树深度.
平衡二叉树每个结点的平衡因子只能是1，0，-1。若其绝对值超过1，则该二叉排序树就是不平衡的。
如图所示为平衡树和非平衡树示意图：
二、平衡二叉树算法思想
若 向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的 链接关系，使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。
失去平衡的最小子树是指以离插入结点最近，且平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树。假设用A表示失去平衡的最小子树的根结点，则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况。
（1）LL型平衡旋转法
由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行一次顺时针旋转操作。 即将A的左孩子B向右上旋转代替A作为根结点，A向右下旋转成为B的右子树的根结点。而原来B的右子树则变成A的左子树。
（2）RR型平衡旋转法
由于在A的右孩子C 的右子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行一次逆时针旋转操作。即将A的右孩子C向左上旋转代替A作为根结点，A向左下旋转成为C的左子树的根结点。而原来C的左子树则变成A的右子树。
（3）LR型平衡旋转法
由于在A的左孩子B的右子数上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行两次旋转操作（先逆时针，后顺时针）。即先将A结点的左孩子B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为LL型，再按LL型处理。
如图中所示，即先将圆圈部分先调整为平衡树，然后将其以根结点接到A的左子树上，此时成为LL型，再按LL型处理成平衡型。
（4）RL型平衡旋转法
由于在A的右孩子C的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行两次旋转操作（先顺时针，后逆时针），即先将A结点的右孩子C的左子树的根结点D向右上旋转提升到C结点的位置，然后再把该D结点向左上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为RR型，再按RR型处理。
如图中所示，即先将圆圈部分先调整为平衡树，然后将其以根结点接到A的左子树上，此时成为RR型，再按RR型处理成平衡型。
平衡化靠的是旋转。参与旋转的是3个节点（其中一个可能是外部节点NULL），旋转就是把这3个节点转个位置。注意的是，左旋的时候p->right一定不为空，右旋的时候p->left一定不为空，这是显而易见的。
如果从空树开始建立，并时刻保持平衡，那么不平衡只会发生在插入删除操作上，而不平衡的标志就是出现bf == 2或者 bf == -2的节点。
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删除节点：
比如要下从下图中删除节点20
首先找到替换20被删除的节点15，并将二者内容替换，如下图所示：
然后删除节点20得到下图：
在删除节点20后，节点10违反了平衡二叉树的性质，对以10为根节点的子树进行调整（类似于插入时，需要先做一次左旋再做一次右旋）可得下图：
另一种情形如下图所示：
另一种情形如下图所示：
另一种情形如下图所示：
