斜率优化

首先

对于形如(f[i]=min(f[j]+cost[j]),0<j<i)的(dp)，

我们可以利用维护一个变量取最小值去维护这个(dp)方程。

再者；

对于形如(f[i]=min(f[j]+cost[j]),i-k<j<i)的(dp)，

我们可以发现，只用维护一段序列中的最小值即可。。

这时候，由于决策具有单调性，我们可以利用单调性来维护，

只用，利用单调队列来维护区间最值即可。

可是，对于形如:

(f[i]=min(f[j]+cost[i][j]),0<j<i)

我们应该如何去维护呢？？？

如果延用上面的单调性去维护的话，我们会面临一个尴尬的境界，

我们发现，(cost[][])函数与(i,j)都有关。

无法利用单调性来维护。

怎么办呢。。。。

现在，让我们来请出最后最强大的方法。

斜率优化

斜率优化是对于形如(f[i]=min(f[j]+cost[i][j]),0<j<i)的方程的优化。

可以把复杂度由本来的(O(n^2))优化到(O(n))或(O(nlogn))的复杂度。

决策单调性

首先，对于斜率优化的方程，先进行证明决策单调性。

对于形如，(f[i]=min(a[i]*b[j]+c[j]+d[i]))的方程，决策点一定具有单调性。

首先，(a[x],b[x],c[x],d[x])是关于(x)的函数，且(b[x])单调递增。

首先假设(k<j)且(f[j]<=f[k])；

即决策(j)比(k)更优；

即

(a[i]*b[j]+c[j]+d[i]<=a[i]*b[k]+c[k]+d[i]cdots (1))

下面有一个新的待决策点(a[i+1])

设(a[i+1]=a[i]-v),即(a[i])单调递减。

我们要证下列式子

(a[i+1]*b[j]+c[j]+d[i+1]<=a[i+1]*b[k]+c[k]+d[i+1])

((a[i]-v)*b[j]+c[j]+d[i+1]<=(a[i]-v)*b[k]+c[k]+d[i+1])

(a[i]*b[j]-v*b[j]+c[j]<=a[i]*b[k]+c[k]-v*b[k])

(a[i]*b[j]+c[j]-v*b[j]<=a[i]*b[k]+c[k]-v*b[k])

由于(b[])单调递增->(v>0)；

我们又有((1));

所以，可证在(k<j)且决策点(j)比决策点(k)更优的情况下。

决策点(k)一定不会在有用，因此，

决策具有单调性

我们将前面的式子展开得到

(a[i]*(b[j]-b[k])<=c[k]-c[j];)

(-a[i]<=frac {c[k]-c[j]}{b[k]-b[j]})

(S(k,j)=frac {c[k]-c[j]}{b[k]-b[j]})

1. 我们可以发现，关于对于队首，若(-a[i]<=S(Q[L],Q[L+1])),则说明决策(Q[L])比决策(Q[L+1])无用，可以(pop)掉。
2. 对于队尾，若有(S(Q[R-1],Q[R])<S(Q[R],i)),则说明若决策点(Q[R-1])被(pop)掉了后，决策点(Q[R])一定会被(pop)掉，则可以直接把(Q[R])给(pop)掉。

关于何时(pop)队首，我们要考虑一下。

1. 若斜率(a[i])单调，直接按斜率(pop)即可。。
2. 否则，我们无法(pop)队首，则需要在队列里二分寻找最优值。

证毕。。。