欧几里得算法和扩展欧几里得算法

欧几里得算法和扩展欧几里得算法

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欧几里得算法

说白了就是辗转相除算法
我们在求a和b的gcd的时候
首先我们会发现gcd(a,b)=gcd(a−b,b) (a>=b)$gcd(a,b)=gcd(a-b,b)(a>=b)$
那么我们不停地迭代就发现gcd(a,b)=gcd(a mod b,b)$gcd(a,b)=gcd(amodb,b)$
然后我们就可以不停地迭代下去
当小的数等于0的时候答案就是大的那个数
最后写出来就是

int gcd(int a,int b){
    if(!b)return a;
    return gcd(b,a%b);
}

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扩展欧几里得

然后我们需要求的从gcd(x,y)$gcd(x,y)$变成了ax+by=c$ax+by=c$
也就是不定方程求解
然后考虑一个不定方程
ax+by=c$ax+by=c$有解的充要条件就是gcd(a,b)|c$gcd(a,b)|c$
即，我们想求出满足ax+by=gcd(a,b)$ax+by=gcd(a,b)$的解
然后惊讶的发现gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$
然后我们用b$b$和a mod b$amodb$代替a$a$和b$b$
发现gcd(a,b)=bx+(a mod b)y$gcd(a,b)=bx+(amodb)y$
又因为a mod b=a−(a/b)∗b$amodb=a-(a/b)\ast b$(这里是整除)
所以gcd(a,b)=bx+(a−(a/b)∗b)y$gcd(a,b)=bx+(a-(a/b)\ast b)y$
整理一下gcd(a,b)=ay+b(x−(a/b)∗y)$gcd(a,b)=ay+b(x-(a/b)\ast y)$
又惊讶地发现:
x−>y$x->y$
y−>x−(a/b)∗y$y->x-(a/b)\ast y$
然后就可以利用exgcd的过程进行求解了

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b)x=1,y=0;
    else{
        exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x;
    }
}

但是问题又来了
我们怎么求出最小的正整数解呢
首先我们还原一下式子，把x,y$x,y$同时乘上c/gcd(a,b)$c/gcd(a,b)$
又因为通解可以表示成:
x=x′+bgcd(a,b)∗k$x=x^{{}^{\prime }}+\frac{b}{gcd(a,b)}\ast k$
y=y′−agcd(a,b)∗k$y=y^{{}^{\prime }}-\frac{a}{gcd(a,b)}\ast k$
所以x的最小正整数解就是(x%bgcd(a,b)+bgcd(a,b))%bgcd(a,b)$(x\mathrm{\%}\frac{b}{gcd(a,b)}+\frac{b}{gcd(a,b)})\mathrm{\%}\frac{b}{gcd(a,b)}$