话说二分和三分的题还没有整理过,就趁这两题来整理下笔记
先讲讲关于二分,对于二分的具体边界长期以来对我来说都是个玄学问题,都是边调边拍改对的。思路大体是确定左边界l,和有边界r,判断满足条件缩小范围。
放个大概的代码
while(l+ep<r){
lm=l+(r-l)/3.0;
rm=r-(r-l)/3.0;
if(clu(lm)>clu(rm)) l=lm;
else r=rm;
}
二分用处很大,一般用在二分答案以及二分查找,一般看到最大的最小或最小的最大都是二分答案或二分查找题,一般来说二分答案题的套路都大体一致。
二分答案:luogu P1182,P2678
二分查找:luogu P1496(离散化+二分查找)
关于三分,大概就是在二分的基础上,对左右区间再进行一次二分,三分查找一般用来确定单峰函数的最值
于二分类似先取中间值
mid=(l+r)>>1
再取mid于Right的中间值
rmid=(mid+r)>>1
通过f(mid)于f(rmid)的值来缩小范围
当然还有另外一种写法
1.先把整个区间的n/3的值lmid←n/3+left。
2.再取右侧区间的中间值rmid←right-n/3,从而把区间分为三个小区间。
3.用f(lmid)的值与f(rmid)的值来缩小范围
double ep=1e-9;
while(l+ep<r){//使用ep来控制精度
lm=l+(r-l)/3.0;
rm=r-(r-l)/3.0;
if(clu(lm)>clu(rm)) l=lm;
else r=rm;
}
这样的时间复杂度是O(lon3n)
回到题目
1.愤怒的牛
题意:将c头牛放入相隔距离不同的n个牛舍中,要求任意两头牛相隔最小距离最大
对于这道题,我们可以二分查找,注意细节即可
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,l,r,c,a[100010];
int main(){
scanf("%d %d",&n,&c);
for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
sort(a+1,a+1+n);
l=0,r=a[n];
while(l<=r){
int mid=(l+r)>>1;
int cnt=1;//初始值为1,把第一头牛放到一号牛舍一定最优
int tmp=a[1];
for(int i=1;i<=n;++i){
if(a[i]-tmp>=mid){
cnt++;
tmp=a[i];
}
}
if(cnt<c) r=mid-1;
else l=mid+1;
}
printf("%d",r);
return 0;
}
2.曲线
题意:n个二次函数,第i个二次函数g(x)=aix^2+bix+ci( (i epsilon [1, n]) )(二次函数可能退化为一次函数),f(x)=max(g(x))(n个二次函数中的最大值)
求f(x)在 (x epsilon [0, 1000]) 的最小值,易证f(x)为单峰函数,三分查找即可
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n;
double ep=1e-9;//控制精度
double a[10010],b[10010],c[10010];
double clu(double x){
double sum=0;
for(int i=1;i<=n;++i) sum=max(sum,((a[i]*x)+b[i])*x+c[i]);//展开即为g(x)
return sum;
}
int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%lf %lf %lf",&a[i],&b[i],&c[i]);
}
double l=0,r=1000,lm=0,rm=0;
while(l+ep<r){
lm=l+(r-l)/3.0;
rm=r-(r-l)/3.0;
if(clu(lm)>clu(rm)) l=lm;
else r=rm;
}
printf("%.4lf
",clu(l));
}
return 0;
}