数据结构与算法(6) -- heap

binary heap就是一种complete binary tree(完全二叉树)。也就是说，整棵binary tree除了最底层的叶节点之外，都是满的。而最底层的叶节点由左至右又不得有空隙。

以上是一个对heap的简单介绍。本文将用heap指代此种完全二叉树。那么在实际编写代码的时候怎么组织这种数据呢，其实可以用array来存储这种结构的数据。将数组的第0个元素保留不用，从第一个元素开始存放数据。那么，对于树中的某个位于i的节点，其左子节点必然位于2i处，右子节点必然位于2i+1处，父节点必然位于“i/2”处。当然heap要能动态的改变大小，所以用vector存储数据会更好。

这里还有一个小的细节需要注意一下，heap可以分为max-heap以及min-heap，前者每个节点的键值都大于或等于其子节点键值，后者的每个节点键值都小于或等于其子节点键值。可以推出，max-heap的最大键值在根节点，min-heap的最小键值在根节点。

综上：heap就是一个包含了一组数据（通常可用array/vector来存储）以及一组管理这些数据的算法（插入元素，删除元素，取极值，将一组数据排列成一个heap）。通过这些方法可以保证heap的特性。

heap的算法

因为在c++ stl中并不直接提供heap这样一种数据结构，但它却是很多数据结构的基础：例如优先队列。所以这里我们主要关注的是heap涉及到的一些算法。

push_heap

在很多书籍当中，通常通过一个上浮的操作来完成push_heap。其基本原理可见下图（假设新加入的元素是50）：

1. 将50插入到数组的末尾。
2. 将其于父元素相比较，发现24小于50，交换这两个元素。上浮一次
3. 继续上述操作直到找到一个合适的位置，也即其父元素大于50的位置，则上浮结束。

一个简易的c++实现：

template<typename T>
void push_heap(std::vector<T> &vec, T value)
{
	vec.push_back(value);
	int i = vec.size()-1;
	while (i > 1 && vec[i] > vec[i / 2]) {
		std::swap(vec[i], vec[i / 2]);
		i = i / 2;
	}
}

pop_heap

pop操作是类似的：

1. 将最后一个元素与第一个元素（根元素）交换。
2. 删除最后一个元素。
3. 将第一个元素/根元素下沉到一个合适的位置。注意下沉的时候是与子节点较大的那个元素交换。

一个简易的c++实现：

template<typename T>
T pop_heap(std::vector<T> &vec)
{
	int i = 1;
	//将最后元素与第一个元素(根元素)交换, 然后删除最后一个元素
	std::swap(vec[1], vec[vec.size() - 1]);
	T v = vec[vec.size() - 1];
	vec.pop_back();

	//将现在的第一个元素/根元素下沉到一个合适的位置
	while (2 * i < vec.size()) {
		int j = 2 * i;	//左子节点
		if (j < vec.size() - 1 && vec[j] < vec[j + 1]) j++;
		if (vec[j] < vec[i]) break;
		std::swap(vec[i], vec[j]);
		i = j;
	}
	return v;
}

sort_heap

sort_heap是利用heap每次都取出极值（这里是max）的特性进行排序。那么只要进行n次pop_heap即可完成排序。

template<typename T>
void sort_heap(std::vector<T> &vec)
{
	std::vector<T> temvec;
	int size = vec.size()-1;
	while (size != 0) {
		temvec.push_back(pop_heap(vec));
		size--;
	}
	for (T value : temvec) {
		vec.push_back(value);
	}
}

See you next time. Happy Coding!!!
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