TMOOC-1709-小明复仇

题目描述

小明所在的世界上一共有n个城市，城市间有m条双向道路。小明现在在城市1,他想到位于城市n的小韩隆家询问他为什么没有将自己的五三复原完成。由于小韩隆手下有许多小弟，小明担心自己可能再也回不来，所以他要先到达k个城市（编号为2到k+1)叫上自己的小弟，再到小韩隆家 。一 个城市有且只有一个小弟。但是有的小弟也曾被小明嘲讽过，不愿为小明卖命，所以小明需要先叫上其他的某些小弟才能叫到这个小弟。小明想要尽早的叫上所有k个小弟向小韩隆复仇，但是智力所限，他无法算出他找完k个小弟之后到小韩隆家的最少时间。于是他找到了你，想让你帮他算算。

输入格式

第一行为三个整数n、m、k，分别表示城市的数量、双向道路的数量和小弟的数量。接下来的m行每行三个整数u、V、I，表示一条路的两个端点和通过所需的时间。第m+2行为一个整数q，表示小弟有q个依赖关系。接下来q行每行两个整数x、y，表示要叫位于城市y的小弟必须先叫位于城市x的小弟。注意：由于小明十分受人厌恶，一个小弟可能依赖于不止一个小弟。经过一个城市不一定要立刻叫上该城市的小弟。

输出格式

一个整数，表示小明叫上所有k个小弟后到达小韩隆家的最短时间。

输入样例

5 7 3
1 2 3
2 3 4
3 1 2
1 4 3
4 5 5
2 5 3
5 3 2
1
2 4 

输出样例

16

其他说明

【样例解释】小明行走的路线1->2->1->4->1->3->5。

对于20%的数据：n<=10，k<=2。

对于40%的数据：n<=1000，k<=10。

对于另外30%的数据，小明觉得小韩隆太鶸，不屑叫小弟。

对于100%的数据：1<= n<=20000，1<=m<=200000，0<=k<=20，0<=q<=100000，保证没有重边和自环、城市间两两连通、答案在 int 范围中。

思路

n、m很大，都跑一遍最短路会炸。参考到k很小，我们可以想到：其实最多也只是跑21个单源最短路，因为剩下的点和这道题没有直接关系。

首先我们要确定的是，必须从起点（1）出发，带上每个小弟（k个），到达终点（n），才能算作成功。至少需要经过k+2个点。
那么，我们要做的就是安排这个顺序，起点和终点不能动，只能安排中间k个小弟的顺序。
在保证都能叫到小弟的情况下，可能会有多种走的方式，所以不能用拓扑排序，例如题解有：

• 1-2-3-4-5...ans=17
• 1-2-4-3-5...ans=16
• 1-3-2-4-5...ans=17

所以，只要全排列中间几个小弟，检测是否合理，两两查找相邻最短路即可，我怕数据不过，用记忆化记一下。

大致流程

1. 数据比较大，只能用邻接表存图；存小弟的关系用vector来存，省时省力。
2. 接下来列出1、2...k、k+1、n的全排列（一共k+2个数，不要搞错，懒，直接用next_permutation)。
3. 对每一种排列判断，一开始觉得是不是要像并查集那样查（就是把它所有长辈都查一遍，是不是在他前面），后来发现只用查父亲就可以了，因为有父亲的时候一定也查过了父亲的父亲，以此类推。从头查，到了一个数标记，如果他父亲没出现在前面就return。
4. 找所有两两相邻的（全排列中）点的最短时间，他们的和与ans比，取小的即可。
5. 输出ans即为答案。

参考代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f,maxm=400002,maxn=20001;
struct Edge{
	int next,to,dis;//标准建边结构体 
}e[maxm];
vector<int> f[maxn];//接i小弟的时候必须有f[i]小弟 
//book和vis是表示访问状态、cnt全排列用、 dis[i][j]表示从i~j的最短时间 
int n,m,k,q,x,y,u,s,v,w,i,j,r,minn,numE=0,ans=inf;
int book[maxn],vis[maxn],head[maxm],dis[25][maxn],cnt[21];
struct cmp{
	//优先队列出队顺序从小打大 
	bool operator()(int x,int y){
		return dis[s][x]>dis[s][y];
	}
};
//建边函数，将同一个出发点的边给集合起来。
void addEdge(int from,int to,int dis){ 
	e[++numE].next=head[from];
	e[numE].to=to;
	e[numE].dis=dis;
	head[from]=numE;
}
bool check(){//能否接到全部k个小弟
	memset(book,0,sizeof(book));//清空数组 
	for(i=1;i<k+1;i++){//起点终点不用查 
		book[cnt[i]]=1;//先标记 
		for(j=0;j<f[cnt[i]].size();j++)
			//如果他的大哥没来，他也不能走 
			if(!book[f[cnt[i]][j]])return false;
	}
	return true;
}
void dijkstra(int x){//dijkstra+优先队列优化 
	s=x; 
	memset(vis,0,sizeof(vis));//清空数组 
	priority_queue<int,vector<int>,cmp> q; 
	dis[s][s]=0;q.push(s);
	while(!q.empty()){
		int u=q.top();q.pop();//找出时间最小的来松弛 
		if(vis[u])continue;
		vis[u]=1;
		for(j=head[u];j;j=e[j].next){//和他相邻的边s 
			int v=e[j].to;
			dis[s][v]=min(dis[s][v],dis[s][u]+e[j].dis);//松弛 
			q.push(v);//继续松弛 
		}
	}
}
void find(int u,int v,int l){
	//最后一项不能交换
	if(l!=k&&dis[v][u]!=inf)dis[u][v]=dis[v][u];
	else dijkstra(u);
}
int main(){
	memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));
	cin >> n >> m >> k;
	for(i=1;i<=n;i++)vis[i]=0;
	for(i=1;i<=k+1;i++)cnt[i-1]=i;//全排列 
	cnt[k+1]=n;//全排列用 
	for(i=0;i<m;i++){
		cin >> u >> v >> w;
		addEdge(u,v,w);addEdge(v,u,w);//建边 
	}
	cin >> q;
	for(i=0;i<q;i++){
		cin >> x >> y;
		f[y].push_back(x);//要注意可以多个大哥 
	}
	do{
		if(!check())continue;//如果顺序错的就跳过 
		int p=0;
		for(i=0;i<k+1;i++){//找每两个相邻最短时间； 
			if(dis[cnt[i]][cnt[i+1]]==inf)
				find(cnt[i],cnt[i+1],i);
			p+=dis[cnt[i]][cnt[i+1]];
			
		}
		ans=min(ans,p);//是不是最短时间？ 
	}while(next_permutation(cnt+1,cnt+k+1)); //全排列 
	cout << ans;
	return 0;
}