hdu5816 卡特兰数+dp

题意：共n张无中生有，m张攻击牌。每张攻击牌攻击力已知，敌方有p点血。随机洗牌。游戏开始，己方抽取一张手牌，若是无中生有则可再抽两张牌。求能在第一回合内将敌方杀死的概率。

n+m <= 20, p <= 1000;

很明显，与卡特兰数有关，原先栈内数量为1，抽到无中生有即入栈，否则出栈。

枚举攻击牌，求出该攻击牌组合下，用完所有手牌将对方杀死的方案数，以及抽光所有牌将对方杀死的方案数（手牌有剩）。

不算预处理的复杂度，每组数据的时间复杂度为O(2^m)

#include <cstdio>
typedef long long ll;

int bc[1<<20], sum[1<<20], tmp[1<<20];
int C[21][21];
ll fact[21];

ll gcd(ll a, ll b){
    return b == 0? a :gcd(b, a%b);
}

void init(){
    int i, j;
    bc[0] = 0;
    for (i=1; i<(1<<20); i++) bc[i] = bc[i^(i&-i)] + 1;
    fact[0] = 1;
    for (i=1; i<=20; i++) fact[i] = fact[i-1] * i;
    C[0][0] = 1;
    for (i=1; i<=20; i++){
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for (j=1; j<i; j++) C[i][j] = C[i-1][j] + C[i-1][j-1];
    }
}

int main(){
    ll a, b, d;
    int p, n, m, t, i;
    init();
    scanf("%d", &t);
    while (t --){
        scanf("%d %d %d", &p, &n, &m);
        for (i=0; i<m; i++) scanf("%d", &tmp[1<<i]);
        sum[0] = 0;
        for (i=1; i<(1<<m); i++) sum[i] = sum[i^(i&-i)] + tmp[i&-i];
        a = 0;
        for (i=0; i<(1<<m); i++){
            if (sum[i] >= p && bc[i] <= n + 1){
                //C(n + m − 1,m) − C(n + m − 1,m − 1)
                //手牌用完，到(bc[i], bc[i])的方案数，即到(bc[i], bc[i]-1)的方案数, 需要bc[i]-1张无中生有
                a += C[n][bc[i]-1] * (C[ bc[i]+bc[i]-2 ][ bc[i]-1 ] - C[ bc[i]+bc[i]-2 ][ bc[i]-2 ])* fact[bc[i]-1] * fact[bc[i]] * fact[n+m-2*bc[i]+1];
                //手牌用不完, 到(n+1, m)的方案数
                if(bc[i] == m&&bc[i] < n+1)
                    a += (C[ m+n ][ m ] - C[ m+n ][ m-1 ])* fact[n] * fact[m];
            }
        }
        b = fact[n+m];
        d = gcd(a, b);
        printf("%I64d/%I64d
", a / d, b / d);
    }
    return 0;
}

 当时写的时候是以 状态表示的牌将敌方杀死 作为结束点，似乎还要容斥，比如用1,2,3杀死对方和用1,2就杀死对方，复杂度也可能会爆炸；

其实应该换一个角度，考虑手牌用光将对方杀死，再加上手牌用不光的case，终点已知，那么就不会有容斥关系。