JZ67 剪绳子

剪绳子

题目：给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段（m、n都是整数，n>1并且m>1，m<=n），每段绳子的长度记为k[1],...,k[m]。请问k[1]x...xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

输入一个数n，意义见题面。（2 <= n <= 60）

思路：

推导规律
就是找规律，尝试着写出 n 取不同的值时对应的乘积，可发现规律：当 n>6 时，ans(n) = ans(n-3) x 3
动态规划
大数越界情况不适用

首先定义状态：dp[i]表示长为i的绳子的最大乘积
状态转移方程：dp[i] = max(j段绳子最大值 * i - j段绳子最大值)

// 动态规划方法
func cuttingRope(n int) int {  
    dp := make(map[int]int)
    dp[1] = 1
    for i := 2; i < n+1; i++ {
        // 切割点为j，j属于[1,i]，这里参照了他人的优化技巧
        for j := 1; j < (i/2 + 1); j++ {
            dp[i] = max(dp[i], max(j, dp[j])*max(i-j, dp[i-j]))
        }
    }
    return dp[n]
}

func max(i, j int) int {
    if i > j {
        return i
    }
    return j
}


// 递归，大数越界的情况下不适用动态规划
func cuttingRope(n int) int {
    switch n {
    case 2:
        return 1
    case 3:
        return 2
    case 4:
        return 4
    case 5:
        return 6
    case 6:
        return 9
    default:
        return cuttingRope(n-3) * 3 % 1000000007
    }
}