主题：简介课程，渐近概念的大局观，插入排序和归并排序，递归式函数时间分析（递归树方法）
教材：《算法导论》
收获：很感动地看到算法分析那个log(n)是为什么出现了，更深层还要听第二讲，若不是因为要准备SAS，恨不得马上看。
内容：
1 何为算法分析？
计算机程序运行性能和存储空间的理论分析，叫算法分析。也就是关注2点：1 性能，就是程序跑得快不快； 2 存储空间，即占用了多大的内存。但是主要还是关注性能。（可能是因为时间就是金钱吧，而且现在计算机硬件发展速度还不错）
2 比性能更加重要的因素都有哪些？
比如成本，正确性，功能特征（features），用户用好，模块化性等等。
3 那为何还学习算法和性能？
很妙的引入方法，你都说了上面那些东西比性能还重要，那尼玛干嘛还要学习算法？
学习算法的原因：
A performance measures the line between the feasible and the infeasible.
对于很多比性能更重要的因素，其实他们跟性能是密切相关的，比如用户用好，就需要你的程序响应时间控制在一定范围内。算法总是处在解决问题的最前沿。
B algorithms give us a language for talking about program behavior.
算法给出了程序行为的描述。
其实形象的比喻就是：水，食物这些东西都比钱重要，你为什么还需要钱？算法就像经济社会中的“货币”，它给出了衡量的一般标准。比如你付出了性能来追求安全稳健性，用户友好性等等。
比如JAVA程序一直很流行，其实它的性能比起C语言要差3倍多，但是由于它本身的面向对象，异常机制等原因，使得人们还是很愿意牺牲性能来追求可拓展性，安全性这些东东。个人的理解就是，比如在软件设计中，你要着重追求某些方面，那在哪种程度范围内是可以接受的呢？性能就是一个标准，比如牺牲3倍性能可以接受，10倍就不行。
C tons of fun
追求速度总是很有趣的，所以人们才会热衷于赛车，火箭等东西。
4 引入插入排序
插入排序（Insertion Sort）
4.1 描述：
输入 A[1…n]，要输出 A’[1,…n]，使得A’中的元素按升序排序，也就是a’(1)<=a’(2)<=a’(3)…
4.2 伪代码：
For j=2 to n
{
Do key=a[j]
i=j-1;
While i>0 and a[i]>key
{
Do a[i+1]=a[i]
I=i-1;
}
A[i+1]=key
}
4.3 举例：
1 7 3 6 4 20 13 9
T1：看第二个元素，7，比1大，放在第二位
T2：看第三个元素，3，比7小，把7放到第三位，3再跟1 比较，比1大，所以3放在第二位，结果1 3 7
T3：类似，分析6，结果1 3 6 7
T4..
T7：1 3 4 6 7 9 13 20
4.4 本质：
每次循环后前面已经排好序的部分保持不变（这里的不变应该是指不用管了，而不是位置绝对不变），每次循环的目的是完成增量，使得已经排序的长度+1
5 通过插入排序，看运行时间依赖哪些因素，引入算法分析的渐近分析符号
5.1 运行时间依赖因素
A 输入的数列，如果已经排好序，工作量近似为0，而如果是逆序的，工作量最大
B 输入的数列规模n。6个数VS 6亿个数，所以后续的运行时间分析时，我们把时间看成是n的函数
5.2 T（n)引入
一般我们都想知道运行时间的下届，就是最差的情况，这样子对用户是一个保证，你可以跟人家说这个程序最多不超过3s，但是你不会说最少要3s吧，天知道最好3s，最差要多久，说不定是一辈子。
所以在算法分析中，我们一般是做最坏情况分析，可以用T（n）表示最长的运行时间，
T（n）is the max time on any input size n.
有时候我们也讨论平均情况。此时T(n) is the expected time over all input size n.也就是T（N）表示期望时间。
（什么是期望时间，数学上的公式是每种输入运行时间*每种输入出现的概率，通俗来讲就是加权平均。）
那么每种输入出现的概率是多大呢？我们假设一种统计分布：均匀分布，当然也可以选择其他分布。均匀分布，也就是说，每种输入出现的概率是一样的。
最好情况分析，这个是假象，一般是拿来忽悠人的。没什么用。
运行时间依赖于具体的机器，所以一般分析的时候是考虑相对速度，也就是在同一台机器上的运行速度。（相反的就是绝对速度，也就是在不同机器上做比较）
6 算法的大局观：The Big idea of algorithm——渐近分析
6.1 基本思路是：
忽略掉那些依赖于机器的常量(比如某条具体操作运行时间，如赋值操作)，而且，不是去检查实际运行时间，而是关注运行时间的增长。什么意思呢？就是关注的是当输入规模n——》无穷时，T（n）是什么情况，而不是说n=10的时候的详细比较。
6.2 具体
渐近符号：Θ(n)
运算法则：对于一个公式，弃去它的低阶项，并忽略前面的常数因子。比如
Θ(3n^3+90n^2-5n+69)=Θ(n^3)
简单吧！
其实Θ(n)是有严格的数学定义的（下节课再一起讲），所以算法导论这门课既是讲数学，也是讲计算机科学的。
6.3 数学与工程的trade-offs
从图中（这个图画得不是一般的丑）可以看出，当n0趋于无穷时，Θ（n2）<<Θ(n3)
有时候交点n0太大，计算机无法运行，所以我们有时会对一些相对低速算法感兴趣。应该就是理论与实际的妥协trade-offs。
7 插入排序运行时间分析
插入排序最坏情况：
T(n)=2+3+…+n=(2+n)(n-1)/2=Θ(n^2)
插入排序算不算快？
对于较小的n，还算是很快的，但是对于大n，它就不算快了，更快的一种排序算法是归并排序。
8 引入归并排序
8.1 归并排序步骤
S1：如果n=1，那么结束；
S2：否则，递归地排序A[1,…[n/2]]和A[[n/2]+1,…n]
S3: 将2个已经排序好的表合并在一起（’Merge’）
8.2 归并子程序
这里用到了一个归并子程序，这也是这个算法的关键。
假设2张已经按照从小到大排序好的表，如何合并？
因为最小的元素一定是2张表中首个元素之一。所以每次对比2张表中最小元素即可。
举例：
1 7 11 13 15 19
3 4 9 18 20 22
首先比较1,3，取1，然后第一个表划掉1
然后比较7和3，取3，然后第二个表划掉3
然后比较7和9，取7，然后第一个表划掉7
以此类推
这个过程运行时间是Θ（n）,因为每个元素用了一次对比，是常数时间，然后做了n次，所以是Θ（n），也就是线性时间。
9 归并排序运行时间分析（递归树方法）
所以T（n）={Θ(1) if n=1;
2T（n/2）+Θ(n)（if n>1）（注意：Θ(n)+Θ(1)=Θ(n)}
已经知道递归式子了，那么运行时间如何求解？
可以用递归树的方法求解运行时间，具体的在Lecture2 会讲到，我们只要考虑n>1的情况即可
此时T(n)可以表示成为2*T（n/2）+C*n
构造递归树方法：
1 先把递归式子的左半部分写出来
注意：式子右边树上的叶子加起来正好就是T（n）,比如第一颗树，T（n）=Cn+T(n/2)*2
高度（层数）约为log（n）(视频上写着log(n),个人觉得应该是表示log2(n)，后面也直接用log(n)表示）
这里强调“约”，是因为n不一定是2的整数幂，但是接近。
假设n是2的整数幂，那么讲到Θ(1)，正好有log(n)步，n->n/2->n/4->…1，实际上是log（n)的常数倍。
最底层的叶子节点数目是n
T（n)表达式？
为了得到T（n），考虑把所有树上叶子加起来是多少。
除了最后一层，每一层的综合都是C*n,最后一层不一定是C*n，因为边界情况可能存在别的值，记为Θ（n）
所以总数T（n）=Cn*log(n)+Θ(n)(第一项比第二项高)=Θ(n*logn)
考虑渐近情况下，Θ(n*logn)比Θ(n2)要快，所以归并排序在一个充分大的输入规模n下将优于插入排序。
10待解决疑问：
1比如递归树原理，有待下一讲一些理论
2 为什么在渐近情况下，Θ(n*logn)<<Θ(n2)