[LeetCode] Maximum Subarray

分析转载 http://blog.csdn.net/joylnwang/article/details/6859677

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],
the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6.

又一个经典问题，对于一个包含负值的数字串array[1...n]，要找到他的一个子串array[i...j]（0<=i<=j<=n），使得在array的所有子串中，array[i...j]的和最大。

这里我们需要注意子串和子序列之间的区别。子串是指数组中连续的若干个元素，而子序列只要求各元素的顺序与其在数组中一致，而没有连续的要求。对于一个元素数为n的数组，其含有2^n个子序列和n(n+1)/2个子串。如果使用穷举法，则至少需要O(n^2)的时间才能得到答案。卡耐基梅隆大学的Jay Kadane的给出了一个线性时间算法，我们就来看看，如何在线性时间内解决最大子串和问题。

要说明Kadane算法的正确性，需要两个结论。首先，对于array[1...n]，如果array[i...j]就是满足和最大的子串，那么对于任何k(i<=k<=j)，我们有array[i...k]的和大于0。因为如果存在k使得array[i...k]的和小于0，那么我们就有array[k+1...j]的和大于array[i...j]，这与我们假设的array[i...j]就是array中和最大子串矛盾。

其次，我们可以将数组从左到右分割为若干子串，使得除了最后一个子串之外，其余子串的各元素之和小于0，且对于所有子串array[i...j]和任意k（i<=k<j），有array[i...k]的和大于0。此时我们要说明的是，满足条件的和最大子串，只能是上述某个子串的前缀，而不可能跨越多个子串。我们假设array[p...q]，是array的和最大子串，且array[p...q]，跨越了array[i...j]，array[j+1...k]。根据我们的分组方式，存在i<=m<j使得array[i...m]的和是array[i...j]中的最大值，存在j+1<=n<k使得array[j+1...n]的和是array[j+1...k]的最大值。由于array[m+1...j]使得array[i...j]的和小于0。此时我们可以比较array[i...m]和array[j+1...n]，如果array[i...m]的和大于array[j+1...n]则array[i...m]>array[p...q]，否array[j+1...n]>array[p...q]，无论谁大，我们都可以找到比array[p...q]和更大的子串，这与我们的假设矛盾，所以满足条件的array[p...q]不可能跨越两个子串。对于跨越更多子串的情况，由于各子串的和均为负值，所以同样可以证明存在和更大的非跨越子串的存在。对于单元素和最大的特例，该结论也适用。

根据上述结论，我们就得到了Kadane算法的执行流程，从头到尾遍历目标数组，将数组分割为满足上述条件的子串，同时得到各子串的最大前缀和，然后比较各子串的最大前缀和，得到最终答案。我们以array={−2, 1, −3, 4, −1, 2, 1, −5, 4}为例，来简单说明一下算法步骤。通过遍历，可以将数组分割为如下3个子串（-2），（1，-3），（4，-1，2，1，-5，4），这里对于（-2）这样的情况，单独分为一组。各子串的最大前缀和为-2，1，6，所以目标串的最大子串和为6。

简单的想：

如果一个和是变成负数了，那么肯定没什么用，就直接扔掉重新开始。其实是一个dp的想法。

最大连续子序列和，非常经典的题。
当我们从头到尾遍历这个数组的时候，对于数组里的一个整数，它有几种选择呢？它只有两种
选择：1、加入之前的 SubArray；2. 自己另起一个 SubArray。那什么时候会出现这两种情况呢？
如果之前 SubArray 的总体和大于 0 的话，我们认为其对后续结果是有贡献的。这种情况下我们
选择加入之前的 SubArray
如果之前 SubArray 的总体和为 0 或者小于 0 的话，我们认为其对后续结果是没有贡献，甚至是
有害的（小于 0 时）。这种情况下我们选择以这个数字开始，另起一个 SubArray。
设状态为 f[j]，表示以 S[j] 结尾的最大连续子序列和，则状态转移方程如下：
f[j] = max { f[j -1] + S[j], S[j] } , 其中1 <= j <= n
target = max { f[j] } , 其中1 <= j <= n

class Solution {
    public:
        int maxSubArray(int A[], int n) {

            int sum = 0;
            int result = INT_MIN;
            for(int i = 0; i< n ;i++)
            {   
                if(sum <= 0)
                    sum = A[i];
                else
                    sum += A[i];
                result = max(sum, result);
            }   
            return result;

        }   
};