• 回溯法 子集树和排序树

    当所给问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，解空间为子集树。例如：0-1背包问题 
     
    当所给问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的排列时，解空间为排列树。例如：旅行售货员问题
     
     
    回溯法搜索子集树算法描述为：
     
    void backtrack(int  t)
     
    {
         if(t>n)   
            output(x);
         else
            for(int i=0; i<=1; i++) //注意，这里的0,1 是X[i]的取值范围，t表示层数
          {  
                 x[t] = i; 
                 if(constraint(t) && bound(t))     
                      backtrack(t+1);
           }  
    }
         回溯法搜索排列树的描述为：
     
         void backtrack(int  t)
     
        {
           if(t>n)  
     
               output(x);
           else      
     
              for(int i=t; i<=n; i++) //这里的n表示层数，不要和子集树搞混了
              {
                swap(x[t], x[i]);
                if(constraint(t) && bound(t))      backtrack(t+1);
                swap(x[t], x[i]);       
     
             }     
     
       }
     
     
    具体实例：
     
     
     
    #include
    #include
    #define N 3
    int x[N+1];
    void Backtrace(int t)
    {
        if(t>N)
        {
            for(int i=1;i<=N;i++)
            {
                printf("%d ",x[i]);
            }
            printf(" ");
        }
        else
        {
            for(int i=0;i<=1;i++)
            {
                x[t]=i;
                Backtrace(t+1);
            }
        }
    }
    int main()
    {
        memset(x,0,(N+1)*sizeof(int));
        Backtrace(1);
    }
    --------------------------------------------------------------------------------------------------
     
     
    #include
    #include
    #define N 3
    int x[N+1]={0,1,2,3};
    void swap(int &a,int &b)
    {
        int temp=a;
        a=b;
        b=temp;
    }
    void Backtrace(int t)
    {
        if(t>N)
        {
            for(int i=1;i<=N;i++)
            {
                printf("%d ",x[i]);
            }
            printf(" ");
        }
        else
        {
            for(int i=t;i<=N;i++)
            {
                swap(x[t],x[i]);
                Backtrace(t+1);
                swap(x[t],x[i]);
            }
        }
    }
    int main()
    {
        Backtrace(1);
    }
     
    子集树实例：
     1 #include <stdio.h>
 2 #include <stdlib.h>
 3 #include <iostream>
 4 #include <vector>
 5 #include <queue>
 6 #include <stack>
 7 using namespace std;
 8 
 9 void printVector(vector<int> array );
10 
11 void dfs(vector<int>& array, int dep)
12 {
13     int size =  array.size();
14     if(dep == size)
15     {
16         printVector(array);
17         return;
18     }
19     //dfs to the next level
20     for(int i = 0; i < 2; i++)
21     {
22         array[dep] = i;
23         dfs(array, dep+1);
24     }
25 
26 }
27 
28 
29 void printVector(vector<int> array )
30 {
31     for(int i = 0; i <array.size(); i++)
32         cout << array[i]<< "	" ;
33     cout << endl;
34 }
35 
36 int main()
37 {
38     vector<int> b ;
39     b.resize(5, 0);
40     dfs(b, 0);
41 
42     return 0;
43 }

    打印结果：

    0 0 0 0 0
    0 0 0 0 1
    0 0 0 1 0
    0 0 0 1 1
    0 0 1 0 0
    0 0 1 0 1
    0 0 1 1 0
    0 0 1 1 1
    0 1 0 0 0
    0 1 0 0 1
    0 1 0 1 0
    0 1 0 1 1
    0 1 1 0 0
    0 1 1 0 1
    0 1 1 1 0
    0 1 1 1 1
    1 0 0 0 0
    1 0 0 0 1
    1 0 0 1 0
    1 0 0 1 1
    1 0 1 0 0
    1 0 1 0 1
    1 0 1 1 0
    1 0 1 1 1
    1 1 0 0 0
    1 1 0 0 1
    1 1 0 1 0
    1 1 0 1 1
    1 1 1 0 0
    1 1 1 0 1
    1 1 1 1 0
    1 1 1 1 1

     
     排序树实例：
     1 #include <stdio.h>
 2 #include <stdlib.h>
 3 #include <iostream>
 4 #include <vector>
 5 #include <queue>
 6 #include <stack>
 7 using namespace std;
 8 
 9 void printVector(vector<int> array );
10 
11 int dfs(vector<int>& array, int t)
12 {
13     size_t size =  array.size();
14     if(t == size)
15         printVector(array);
16 
17     //dfs to the next level
18     for(int i = t; i < size; i++)
19     {
20         int j = i;
21         string s;
22         while(j --)
23             s += "	" ;
24        //cout <<s << "================   start   ==================================;; i =" <<i << endl;
25        swap(array[t],array[i]);
26        //cout <<s << "begin to swap " << array[i]<< " and " << array[t] <<endl; ;
27        //cout <<s << "call dfs -- lvevel " << t+1 <<endl;
28        dfs(array, t+1);
29        //cout <<s << "return dfs -- lvevel " << t+1 <<endl;
30        //cout <<s << "end  to swap" << array[i]<< " and " << array[t] <<endl; ;
31        swap(array[i],array[t]); 
32        //cout <<s << "================= end     ==================================;; i =" <<i << endl;
33     }   
34 
35 }
36 
37 
38 void printVector(vector<int> array )
39 {
40     for(int i = 0; i <array.size(); i++)
41         cout << array[i]<< "	" ;
42     cout << endl;
43 }
44 
45 int main()
46 {
47     vector<int> b ;
48 #if 1
49     b.push_back(5);
50     b.push_back(6);
51     b.push_back(7);
52     b.push_back(8);
53 #else
54     b.push_back(4);
55     b.push_back(3);
56     b.push_back(2);
57     b.push_back(1);
58     b.push_back(0);
59 #endif
60 
61     sort(b.begin(), b.end());
62     dfs(b, 0);
63 
64     return 0;
65 }

    打印结果

    5 6 7 8
    5 6 8 7
    5 7 6 8
    5 7 8 6
    5 8 7 6
    5 8 6 7
    6 5 7 8
    6 5 8 7
    6 7 5 8
    6 7 8 5
    6 8 7 5
    6 8 5 7
    7 6 5 8
    7 6 8 5
    7 5 6 8
    7 5 8 6
    7 8 5 6
    7 8 6 5
    8 6 7 5
    8 6 5 7
    8 7 6 5
    8 7 5 6
    8 5 7 6
    8 5 6 7

     从结果看，回溯法排序树并不满足 permutation_sequence 的要求。。

    递归分析：
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