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矩阵求导的技术，在统计学、控制论、机器学习等领域有广泛的应用。鉴于我看过的一些资料或言之不详、或繁乱无绪，本文来做个科普，分作两篇，上篇讲标量对矩阵的求导术，下篇讲矩阵对矩阵的求导术。本文使用小写字母x表示标量，粗体小写字母表示（列）向量，大写字母X表示矩阵。
首先来琢磨一下定义，标量f对矩阵X的导数，定义为，即f对X逐元素求导排成与X尺寸相同的矩阵。然而，这个定义在计算中并不好用，实用上的原因是对函数较复杂的情形难以逐元素求导；哲理上的原因是逐元素求导破坏了整体性。试想，为何要将f看做矩阵X而不是各元素
的函数呢？答案是用矩阵运算更整洁。所以在求导时不宜拆开矩阵，而是要找一个从整体出发的算法。
为此，我们来回顾，一元微积分中的导数（标量对标量的导数）与微分有联系：；多元微积分中的梯度（标量对向量的导数）也与微分有联系：
，这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了梯度与微分的联系：全微分
是梯度向量
(n×1)与微分向量
(n×1)的内积；受此启发，我们将矩阵导数与微分建立联系：
。其中tr代表迹(trace)是方阵对角线元素之和，满足性质：对尺寸相同的矩阵A,B，
，即
是矩阵A,B的内积。与梯度相似，这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了矩阵导数与微分的联系：全微分
是导数
(m×n)与微分矩阵
(m×n)的内积。
然后来建立运算法则。回想遇到较复杂的一元函数如，我们是如何求导的呢？通常不是从定义开始求极限，而是先建立了初等函数求导和四则运算、复合等法则，再来运用这些法则。故而，我们来创立常用的矩阵微分的运算法则：
- 加减法：
；矩阵乘法：
；转置：
；迹：
。
- 逆：
。此式可在
两侧求微分来证明。
- 行列式：
，其中
表示X的伴随矩阵，在X可逆时又可以写作
。此式可用Laplace展开来证明，详见张贤达《矩阵分析与应用》第279页。
- 逐元素乘法：
，
表示尺寸相同的矩阵X,Y逐元素相乘。
- 逐元素函数：
，
是逐元素标量函数运算，
是逐元素求导数。例如
。
我们试图利用矩阵导数与微分的联系，在求出左侧的微分
后，该如何写成右侧的形式并得到导数呢？这需要一些迹技巧(trace trick)：
- 标量套上迹：
- 转置：
。
- 线性：
。
- 矩阵乘法交换：
，其中
与
尺寸相同。两侧都等于
。
- 矩阵乘法/逐元素乘法交换：
，其中
尺寸相同。两侧都等于
。
观察一下可以断言，若标量函数f是矩阵X经加减乘法、逆、行列式、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对f求微分，再使用迹技巧给df套上迹并将其它项交换至dX左侧，对照导数与微分的联系，即能得到导数。
特别地，若矩阵退化为向量，对照导数与微分的联系，即能得到导数。
在建立法则的最后，来谈一谈复合：假设已求得，而Y是X的函数，如何求
呢？在微积分中有标量求导的链式法则
，但这里我们不能随意沿用标量的链式法则，因为矩阵对矩阵的导数
截至目前仍是未定义的。于是我们继续追本溯源，链式法则是从何而来？源头仍然是微分。我们直接从微分入手建立复合法则：先写出
，再将dY用dX表示出来代入，并使用迹技巧将其他项交换至dX左侧，即可得到
。
最常见的情形是，此时
，可得到
。注意这里
，由于
是常量，
，以及我们使用矩阵乘法交换的迹技巧交换了
与
。
接下来演示一些算例。特别提醒要依据已经建立的运算法则来计算，不能随意套用微积分中标量导数的结论，比如认为AX对X的导数为A，这是没有根据、意义不明的。
例1：，求
。其中
是
列向量，
是
矩阵，
是
列向量，
是标量。
解：先使用矩阵乘法法则求微分，，注意这里的
是常量，
。由于df是标量，它的迹等于自身，
，套上迹并做矩阵乘法交换：
，注意这里我们根据
交换了
与
。对照导数与微分的联系
，得到
。
注意：这里不能用，导数与矩阵乘法的交换是不合法则的运算（而微分是合法的）。有些资料在计算矩阵导数时，会略过求微分这一步，这是逻辑上解释不通的。
例2：，求
。其中
是
列向量，
是
矩阵，
是
列向量，exp表示逐元素求指数，
是标量。
解：先使用矩阵乘法、逐元素函数法则求微分：，再套上迹并做交换：
，注意这里我们先根据
交换了
、
与
，再根据
交换了
与
。对照导数与微分的联系
，得到
。
例3：，求
。其中
是
矩阵，
是
矩阵，
是
矩阵，
是
对称矩阵，
是逐元素函数，
是标量。
解：先求，求微分，使用矩阵乘法、转置法则：
，对照导数与微分的联系，得到
，注意这里M是对称矩阵。为求
，写出
，再将dY用dX表示出来代入，并使用矩阵乘法/逐元素乘法交换：
，对照导数与微分的联系，得到
。
例4【线性回归】：， 求
的最小二乘估计，即求
的零点。其中
是
列向量，
是
矩阵，
是
列向量，
是标量。
解：这是标量对向量的导数，不过可以把向量看做矩阵的特例。先将向量模平方改写成向量与自身的内积：，求微分，使用矩阵乘法、转置等法则：
，注意这里
和
是向量，两个向量的内积满足
。对照导数与微分的联系
，得到
。
即
，得到
的最小二乘估计为
。
例5【方差的最大似然估计】：样本，求方差
的最大似然估计。写成数学式是：
，求
的零点。其中
是
列向量，
是样本均值，
是
对称正定矩阵，
是标量，log表示自然对数。
解：首先求微分，使用矩阵乘法、行列式、逆等运算法则，第一项是，第二项是
。再给第二项套上迹做交换：
，其中先交换迹与求和，然后将
交换到左边，最后再交换迹与求和，并定义
为样本方差矩阵。得到
。对照导数与微分的联系，有
，其零点即
的最大似然估计为
。
例6【多元logistic回归】：，求
。其中
是除一个元素为1外其它元素为0的
列向量，
是
矩阵，
是
列向量，
是标量；log表示自然对数，
，其中
表示逐元素求指数，
代表全1向量。
解1：首先将softmax函数代入并写成，这里要注意逐元素log满足等式
，以及
满足
。求微分，使用矩阵乘法、逐元素函数等法则：
。再套上迹并做交换，注意可化简
，这是根据等式
，故
。对照导数与微分的联系，得到
。
解2：定义，则
，先同上求出
，再利用复合法则：
，得到
。
最后一例留给经典的神经网络。神经网络的求导术是学术史上的重要成果，还有个专门的名字叫做BP算法，我相信如今很多人在初次推导BP算法时也会颇费一番脑筋，事实上使用矩阵求导术来推导并不复杂。为简化起见，我们推导二层神经网络的BP算法。
例7【二层神经网络】：，求
和
。其中
是除一个元素为1外其它元素为0的的
列向量，
是
矩阵，
是
矩阵，
是
列向量，
是标量；log表示自然对数，
同上，
是逐元素sigmoid函数
。
解：定义，
，
，则
。在前例中已求出
。使用复合法则，
，使用矩阵乘法交换的迹技巧从第一项得到
，从第二项得到
。接下来对第二项继续使用复合法则来求
，并利用矩阵乘法和逐元素乘法交换的迹技巧：
，得到
。为求
，再用一次复合法则：
，得到
。
推广：样本，
，其中
是
列向量，
是
列向量，其余定义同上。
解1：定义，
，
，则
。先同上可求出
。使用复合法则，
，从第一项得到得到
，从第二项得到
，从第三项得到到
。接下来对第二项继续使用复合法则，得到
。为求
，再用一次复合法则：
，得到
，
。
解2：可以用矩阵来表示N个样本，以简化形式。定义，
，
，
，注意这里使用全1向量来扩展维度。先同上求出
。使用复合法则，
，从第一项得到
，从第二项得到
，从第三项得到到
。接下来对第二项继续使用复合法则，得到
。为求
，再用一次复合法则：
，得到
，
。
下篇见https://zhuanlan.zhihu.com/p/24863977。
本文承接上篇 https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748，来讲矩阵对矩阵的求导术。使用小写字母x表示标量，粗体小写字母表示列向量，大写字母X表示矩阵。矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法中Hessian矩阵的分析。
首先来琢磨一下定义。矩阵对矩阵的导数，需要什么样的定义？第一，矩阵F(p×q)对矩阵X(m×n)的导数应包含所有mnpq个偏导数，从而不损失信息；第二，导数与微分有简明的联系，因为在计算导数和应用中需要这个联系；第三，导数有简明的从整体出发的算法。我们先定义向量
(p×1)对向量
(m×1)的导数
(m×p)，有
；再定义矩阵的（按列优先）向量化
(mn×1)，并定义矩阵F对矩阵X的导数
(mn×pq)。导数与微分有联系
。几点说明如下：
- 按此定义，标量f对矩阵X(m×n)的导数
是mn×1向量，与上篇的定义不兼容，不过二者容易相互转换。为避免混淆，用记号
表示上篇定义的m×n矩阵，则有
。虽然本篇的技术可以用于标量对矩阵求导这种特殊情况，但使用上篇中的技术更方便。读者可以通过上篇中的算例试验两种方法的等价转换。
- 标量对矩阵的二阶导数，又称Hessian矩阵，定义为
(mn×mn)，是对称矩阵。对向量
，求导时矩阵被向量化，弊端是这在一定程度破坏了矩阵的结构，会导致结果变得形式复杂；好处是多元微积分中关于梯度、Hessian矩阵的结论可以沿用过来，只需将矩阵向量化。例如优化问题中，牛顿法的更新
，满足
。
- 在资料中，矩阵对矩阵的导数还有其它定义，比如
(mp×nq)，或是
(mp×nq)，它能兼容上篇中的标量对矩阵导数的定义，但微分与导数的联系（dF等于
中逐个m×n子块分别与dX做内积）不够简明，不便于计算和应用。资料[5]综述了以上定义，并批判它们是坏的定义，能配合微分运算的才是好的定义。
- 在资料中，有分子布局和分母布局两种定义，其中向量对向量的导数的排布有所不同。本文使用的是分母布局，机器学习和优化中的梯度矩阵采用此定义。而控制论等领域中的Jacobian矩阵采用分子布局，向量
对向量
的导数定义是
，对应地导数与微分的联系是
；同样通过向量化定义矩阵F对矩阵X的导数
，有
。两种布局下的导数互为转置，二者求微分的步骤是相同的，仅在对照导数与微分的联系时有一个转置的区别，读者可根据所在领域的习惯选定一种布局。
然后来建立运算法则。仍然要利用导数与微分的联系，求微分的方法与上篇相同，而从微分得到导数需要一些向量化的技巧：
- 线性：
。
- 矩阵乘法：
，其中
表示Kronecker积，A(m×n)与B(p×q)的Kronecker积是
(mp×nq)。此式证明见张贤达《矩阵分析与应用》第107-108页。
- 转置：
，A是m×n矩阵，其中
(mn×mn)是交换矩阵(commutation matrix)，将按列优先的向量化变为按行优先的向量化。例如
。
- 逐元素乘法：
，其中
(mn×mn)是用A的元素（按列优先）排成的对角阵。
观察一下可以断言，若矩阵函数F是矩阵X经加减乘法、逆、行列式、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对F求微分，再做向量化并使用技巧将其它项交换至vec(dX)左侧，对照导数与微分的联系，即能得到导数。
特别地，若矩阵退化为向量，对照导数与微分的联系，即能得到导数。
再谈一谈复合：假设已求得，而Y是X的函数，如何求
呢？从导数与微分的联系入手，
，可以推出链式法则
。
和标量对矩阵的导数相比，矩阵对矩阵的导数形式更加复杂，从不同角度出发常会得到形式不同的结果。有一些Kronecker积和交换矩阵相关的恒等式，可用来做等价变形：
。
。
。可以对
求导来证明，一方面，直接求导得到
；另一方面，引入
，有
，用链式法则得到
。
。
，A是m×n矩阵，B是p×q矩阵。可以对
做向量化来证明，一方面，
；另一方面，
。
接下来演示一些算例。
例1：，X是m×n矩阵，求
。
解：先求微分：，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧，注意在dX右侧添加单位阵：
，对照导数与微分的联系得到
。
特例：如果X退化为向量，即，则根据向量的导数与微分的关系
，得到
。
例2：，X是n×n矩阵，求
和
。
解：使用上篇中的技术可求得。为求
，先求微分：
，再做向量化，使用转置和矩阵乘法的技巧
，对照导数与微分的联系，得到
，注意它是对称矩阵。在
是对称矩阵时，可简化为
。
例3：，A是l×m矩阵，X是m×n矩阵，B是n×p矩阵，exp为逐元素函数，求
。
解：先求微分：，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧：
，再用逐元素乘法的技巧：
，再用矩阵乘法的技巧：
，对照导数与微分的联系得到
。
例4【一元logistic回归】：，求
和
。其中
是取值0或1的标量，
是
列向量。
解：使用上篇中的技术可求得，其中
为sigmoid函数。为求
，先求微分：
，其中
为sigmoid函数的导数，对照导数与微分的联系，得到
。
推广：样本，
，求
和
。有两种方法，解1：先对每个样本求导，然后相加；解2：定义矩阵
，向量
，将
写成矩阵形式
，进而可以使用上篇中的技术求得
。为求
，先求微分，再用逐元素乘法的技巧：
，对照导数与微分的联系，得到
。
例5【多元logistic回归】：，求
和
。其中其中
是除一个元素为1外其它元素为0的
列向量，
是
矩阵，
是
列向量，
是标量。
解：上篇中已求得。为求
，先求微分：定义
，
，注意这里化简去掉逐元素乘法，第一项中
，第二项中
。定义矩阵
，
，做向量化并使用矩阵乘法的技巧，得到
。
最后做个总结。我们发展了从整体出发的矩阵求导的技术，导数与微分的联系是计算的枢纽，标量对矩阵的导数与微分的联系是，先对f求微分，再使用迹技巧可求得导数，特别地，标量对向量的导数与微分的联系是
；矩阵对矩阵的导数与微分的联系是
，先对F求微分，再使用向量化的技巧可求得导数，特别地，向量对向量的导数与微分的联系是
。
参考资料：
- 张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社有限公司, 2004.
- Fackler, Paul L. "Notes on matrix calculus." North Carolina State University(2005).
- Petersen, Kaare Brandt, and Michael Syskind Pedersen. "The matrix cookbook." Technical University of Denmark 7 (2008): 15.
- HU, Pili. "Matrix Calculus: Derivation and Simple Application." (2012).
- Magnus, Jan R., and Heinz Neudecker. "Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics." Wiley, 2019.