[luogu1357] 花园 [dp+矩阵快速幂]

题面：

传送门

思路：

把P形花圃记录为0，C形记录为1，那么一段花圃就可以状态压缩成一个整数

那么，我们可以有这样的状压dp：

dp[i][S]表示前i个花圃，最后m个的状态为S的情况

如果这是一条链的花圃，那么直接状压转移就可以了，但是这道题是一个环

一个环上，前m-1个花圃会影响到后m-1个花圃的状态

因此我们考虑把这个环后面再“长出”m个花圃来，消除这种影响

具体做法是：

枚举所有合法的状态S，令dp[1][S]=1，其余为零，代表前m个的状态确定了然后递推

最后把dp[n+1][S]加入答案，代表最后m个（第1～0-m+1个）的状态为S

由于n比较大，因此需要预处理出转移，写成矩阵快速幂的形式（因为这里的递推显然是线性的）

Code：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define mx 1e16
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
    ll re=0,flag=1;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0'){
        if(ch=='-') flag=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return re*flag;
}
ll n,m,K,MOD=1e9+7;
struct ma{
    ll a[50][50],n,m;
    ma(){memset(a,0,sizeof(a));n=m=0;}
    void clear(){memset(a,0,sizeof(a));n=m=0;}
    const ma operator *(const ma &b){
        ma re;re.n=n;re.m=b.m;ll i,j,k;
        for(i=1;i<=n;i++){
            for(j=1;j<=b.m;j++){
                for(k=1;k<=m;k++){
                    re.a[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j];
                    re.a[i][j]%=MOD;
                }
            }
        }
        return re;
    }
    const void operator =(const ma &b){
        n=b.n;m=b.m;ll i,j;
        for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=m;j++) a[i][j]=b.a[i][j];
    }
}A,B,ans;
ll st[50],cnt,in[50];
ll count(ll x){
    ll re=0;
    while(x){
        if(x&1) re++;
        x>>=1;
    }
    return re;
}
ma ppow(ma x,ma y,ll t){
    while(t){
        if(t&1) x=x*y;
        y=y*y;t>>=1;
    }
    return x;
}
int main(){
    n=read();m=read();K=read();
    ll i,t1,t2,j;
    for(i=0;i<(1<<m);i++){
        if(count(i)<=K) st[++cnt]=i,in[i]=cnt;
    }
    A.n=1;A.m=B.n=B.m=cnt;
    for(i=1;i<=cnt;i++){
        t1=(st[i]<<1)&((1<<m)-1);t2=t1+1;
        if(in[t1]) B.a[i][in[t1]]=1;
        if(in[t2]) B.a[i][in[t2]]=1;
    }
    ll re=0;
    for(i=1;i<=cnt;i++){
        A.clear();A.a[1][i]=1;A.n=1;A.m=cnt;
        ans=ppow(A,B,n);
        re+=ans.a[1][i];re%=MOD;
    }
    printf("%lld",re%MOD);
}