[hihoCoder] 1044 : 状态压缩·一

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描述

小Hi和小Ho在兑换到了喜欢的奖品之后，便继续起了他们的美国之行，思来想去，他们决定乘坐火车前往下一座城市——那座城市即将举行美食节！

但是不幸的是，小Hi和小Ho并没有能够买到很好的火车票——他们只能够乘坐最为破旧的火车进行他们的旅程。

不仅如此，因为美食节的吸引，许多人纷纷踏上了和小Hi小Ho一样的旅程，于是有相当多的人遭遇到了和小Hi小Ho一样的情况——这导致这辆车上的人非常非常的多，以至于都没有足够的位置能让每一个人都有地方坐下来。

小Hi和小Ho本着礼让他们的心情——当然还因为本来他们买的就是站票，老老实实的呆在两节车厢的结合处。他们本以为就能够这样安稳抵达目的地，但事与愿违，他们这节车厢的乘务员是一个强迫症，每隔一小会总是要清扫一次卫生，而时值深夜，大家都早已入睡，这种行为总是会惊醒一些人。而一旦相邻的一些乘客被惊醒了大多数的话，就会同乘务员吵起来，弄得大家都睡不好。

将这一切看在眼里的小Hi与小Ho决定利用他们的算法知识，来帮助这个有着强迫症的乘务员——在不与乘客吵起来的前提下尽可能多的清扫垃圾。

小Hi和小Ho所处的车厢可以被抽象成连成一列的N个位置，按顺序分别编号为1..N，每个位置上都有且仅有一名乘客在休息。同时每个位置上都有一些垃圾需要被清理，其中第i个位置的垃圾数量为Wi。乘务员可以选择其中一些位置进行清理，但是值得注意的是，一旦有编号连续的M个位置中有超过Q个的位置都在这一次清理中被选中的话（即这M个位置上的乘客有至少Q+1个被惊醒了），就会发生令人不愉快的口角。而小Hi和小Ho的任务是，计算选择哪些位置进行清理，在不发生口角的情况下，清扫尽可能多的垃圾。

提示一：无论是什么动态规划，都需要一个状态转移方程！

提示二：好像什么不对劲？状态压缩哪里去了？

输入

每个测试点（输入文件）有且仅有一组测试数据。

每组测试数据的第一行为三个正整数N、M和Q，意义如前文所述。

每组测试数据的第二行为N个整数，分别为W1到WN，代表每一个位置上的垃圾数目。

对于100%的数据，满足N<=1000, 2<=M<=10,1<=Q<=M, Wi<=100

输出

对于每组测试数据，输出一个整数Ans，表示在不发生口角的情况下，乘务员最多可以清扫的垃圾数目。

样例输入

5 2 1
36 9 80 69 85 

样例输出

201

思路

状态压缩DP。

状态定义

dp[i][j]表示清理范围为[0, i]时，位置[i - m + 1, i]这m个位置各位置是否被清理的压缩后状态（0未清理，1已清理，其中压缩状态j的高位为位置i的清理位）

状态转移公式

对于清理范围为[0, i + 1]时，对于位置i + 1，

• 当不清理位置i + 1时，dp[i][j] -> dp[i + 1][j >> 1]
• 当清理位置i + 1时，要求满足状态j中各位和小于等于q，此时
  dp[i][j] -> dp[i + 1][(1 << (m - 1)) | (j >> 1)]， 其中j的各位之和小于等于q。

为提高效率，可预处理记录下各状态值中各位和是否小于等于q。

代码

理论上应该dp[0] 只有 dp[0][0]的状态才是合理，但由于dp[0]里除dp[0][0]外的不合理状态不可能得到比dp[0][0]更大的解，因此初始状态是否初始化没有关系。

import java.util.Scanner;

public class Main {

    // 初始化各状态值是否满足1的个数小于q
    public static boolean[] init(int m, int q) {
        boolean[] lte = new boolean[1 << m];
        for (int i = 0; i < (1 << m); i++) {
            int cnt = 0;
            for (int j = i; j > 0; j >>= 1) {
                cnt += j & 1;
            }
            lte[i] = cnt <= q;
        }
        return lte;
    }

    public static int resolve(int n, int m, int q, int[] w, boolean[] lte) {
        int[][] dp = new int[n + 1][1 << m];

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j < (1 << m); j++) {
                int s0 = j >> 1;
                // 存在多次转移到dp[i][s0]，因此取max，下同
                dp[i][s0] = Math.max(dp[i][s0], dp[i - 1][j]);

                int s1 = (1 << (m - 1)) | (j >> 1);
                if (lte[s1]) {
                    dp[i][s1] = Math.max(dp[i][s1], dp[i - 1][j] + w[i - 1]);
                }
            }
        }

        int max = 0;
        for (int j = 0; j < (1 << m); j++) {
            max = Math.max(max, dp[n][j]);
        }
        return max;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();
        int q = sc.nextInt();

        boolean[] lte = init(m, q);

        int[] w = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            w[i] = sc.nextInt();
        }

        System.out.println(resolve(n, m, q, w, lte));
    }
}