欧拉函数

意义

对于正整数(n)，(varphi(n))表示小于等于(n)的正整数中与(n)互素的数的数目

定义

(varphi(n)=ncdot(1-frac 1{p_1})cdot(1-frac 1{p_2})cdot...cdot(1-frac 1{p_n}))

其中(p_i)表示(i)的质因数

特别地，(varphi(1)=1)

证明

用类似于容斥原理的方法求(1sim n-1)中与(n)互素的数：

先把(n)的所有质因数(p_i)的倍数都筛掉，再把(p_i,p_{i+1})的公共倍数添加回来，再去掉(p_i,p_{i+1},p_{i+2})的公共倍数...

得到(varphi(n)=n-frac n{p_1}-frac n{p_2}-cdots+frac n{p_1p_2}+frac n{p_2p_3}+cdots)

由相关数学知识化简得到定义式。

性质

(a,b)互素时由定义式易证(varphi(acdot b)=varphi(a)cdotvarphi(b))，由此欧拉函数是积性函数。

求解方法

1. 由定义式可以得到一种直白的求法：（在线算法）

   用唯一分解定理的方法找出(n)的所有质因数，同时用定义式求即可

   由于(p_i)是(n) 不同的质因数，所以计算中除法不会出现不能整除的情况

   为了防止爆精度，计算时先除后乘。

   int phi(int n) {
   	if(n == 1) return 1;
   	int p = n;
   	for(int i=2, n1=n; i*i<=n1; i++) if(n%i == 0){
   		p = p / i * (i-1);
   		while(n%i == 0) n /= i;
   	}
   	if(n>1) p = p / n * (n-1);
   	return p;
   }
   

2. 打欧拉函数表：（离线算法）用筛法，边筛素数边算

   • 埃氏筛

     初始化(phi[i]=i)

     筛到素数(p)，在标记(p)的倍数不是素数的同时计算，(phi[i*p]=phi[i*p]/p*(p-1))

     void sieve(int n) {
     	phi[1] = 1;
     	for(int i=2; i<=n; i++) {
     		if(!npr[i]) continue;
     		for(int j=2; i*j<=n; j++) {
     			npr[i*j] = 1;
     			phi[i*j] = phi[i*j] / i * (i-1);
     		}
     	}
     }
     

   • 欧拉筛（线性筛）

     因为欧拉筛中每个数只筛一次，所以要一次算出最终结果。

     设(p)为素数，分类讨论如下：

     1. (phi[p]=p-1)
     2. 已知(phi[x])且(p)能整除(x)：(phi[x*p]=phi[x]*p)
     3. 已知(phi[x])且(p)不能整除(x)：(phi[x*p]=phi[x]*(p-1))

     每一个对应的简单证明：

     1. (p)以内所有数都与(p)互质，所以答案为(p-1)
     2. (p)不是(x*p)新增的素数，故由定义式知(phi[x])算(phi[x*p])时后边带括号的部分相同，只是前面的(x)变成了(x*p)，所以(phi[x]*p)即可
     3. (p)是(x*p)新增的素数，由(phi[x])算(phi[x*p])时要乘一个因子(frac{p-1}p)，同时前面(x)变成(x*p)，约分后为(phi[x]*(p-1))

     void sieve(int n) {
     	np = 0; phi[1] = 1;
     	for(int i=2; i<=n; i++) {
     		if(!npr[i]) p[++np] = i, phi[i] = i-1;
     		for(int j=1; j<=np && i*p[j]<=n; j++) {
     			npr[i*p[j]] = 1;
     			phi[i*p[j]] = phi[i] * (i%p[j] ? p[j]-1 : p[j]);
     			if(i%p[j] == 0) break;
     		}
     	}
     }
     

参考博客

【线性筛】-大米饼