题目描述
输入一个字符串，打印出该字符串中字符的所有排列。
例如输入字符串abc，则输出由字符a、b、c 所能排列出来的所有字符串
abc、acb、bac、bca、cab 和 cba。
分析与解法
解法一、递归实现
从集合中依次选出每一个元素，作为排列的第一个元素，然后对剩余的元素进行全排列，如此递归处理，从而得到所有元素的全排列。以对字符串abc进行全排列为例，我们可以这么做：以abc为例
- 固定a，求后面bc的排列：abc，acb，求好后，a和b交换，得到bac
- 固定b，求后面ac的排列：bac，bca，求好后，c放到第一位置，得到cba
- 固定c，求后面ba的排列：cba，cab。
void CalcAllPermutation(string str, string temp, vector<string> &res, int now, int size) { if(now == size) { res.push_back(temp); return; } for(int i = now; i != size; ++i) { swap(str[now], str[i]); CalcAllPermutation(str, temp + str[now], res, now + 1, size); swap(str[now], str[i]); } }
解法二、字典序排列
首先，咱们得清楚什么是字典序。根据维基百科的定义：给定两个偏序集A和B,(a,b)和(a′,b′)属于笛卡尔集 A × B，则字典序定义为
(a,b) ≤ (a′,b′) 当且仅当 a < a′ 或 (a = a′ 且 b ≤ b′)。
所以给定两个字符串，逐个字符比较，那么先出现较小字符的那个串字典顺序小，如果字符一直相等，较短的串字典顺序小。例如：abc < abcd < abde < afab。
那有没有这样的算法，使得
- 起点： 字典序最小的排列, 1-n , 例如12345
- 终点： 字典序最大的排列，n-1, 例如54321
- 过程： 从当前排列生成字典序刚好比它大的下一个排列
答案是肯定的：有，即是STL中的next_permutation算法。
在了解next_permutation算法是怎么一个过程之前，咱们得先来分析下“下一个排列”的性质。
- 假定现有字符串(A)x(B)，它的下一个排列是：(A)y(B’)，其中A、B和B’是“字符串”(可能为空），x和y是“字符”，前缀相同，都是A，且一定有y > x。
- 那么，为使下一个排列字典顺序尽可能小，必有：
- A尽可能长
- y尽可能小
- B’里的字符按由小到大递增排列
现在的问题是：找到x和y。怎么找到呢？咱们来看一个例子。
比如说，现在我们要找21543的下一个排列，我们可以从左至右逐个扫描每个数，看哪个能增大（至于如何判定能增大，是根据如果一个数右面有比它大的数存在，那么这个数就能增大），我们可以看到最后一个能增大的数是：x = 1。
而1应该增大到多少？1能增大到它右面比它大的那一系列数中最小的那个数，即：y = 3，故此时21543的下一个排列应该变为23xxx，显然 xxx(对应之前的B’）应由小到大排，于是我们最终找到比“21543”大，但字典顺序尽量小的23145，找到的23145刚好比21543大。
由这个例子可以得出next_permutation算法流程为：
next_permutation算法
-
定义
- 升序：相邻两个位置ai < ai+1，ai 称作该升序的首位
-
步骤（二找、一交换、一翻转）
- 找到排列中最后（最右）一个升序的首位位置i，x = ai
- 找到排列中第i位右边最后一个比ai 大的位置j，y = aj
- 交换x，y
- 把第(i+ 1)位到最后的部分翻转
还是拿上面的21543举例，那么，应用next_permutation算法的过程如下：
- x = 1；
- y = 3
- 1和3交换
- 得23541
- 翻转541
- 得23145
23145即为所求的21543的下一个排列。参考实现代码如下：
bool CalcAllPermutation(char* perm, int num){ int i; //①找到排列中最后（最右）一个升序的首位位置i，x = ai for (i = num - 2; (i >= 0) && (perm[i] >= perm[i + 1]); --i){ ; } // 已经找到所有排列 if (i < 0){ return false; } int k; //②找到排列中第i位右边最后一个比ai 大的位置j，y = aj for (k = num - 1; (k > i) && (perm[k] <= perm[i]); --k){ ; } //③交换x，y swap(perm[i], perm[k]); //④把第(i+ 1)位到最后的部分翻转 reverse(perm + i + 1, perm + num); return true; }
然后在主函数里循环判断和调用calcAllPermutation函数输出全排列即可。
第二种解法的代码来自july.
解法总结
由于全排列总共有n!种排列情况，所以不论解法一中的递归方法，还是上述解法二的字典序排列方法，这两种方法的时间复杂度都为O(n!)。
类似问题
1、已知字符串里的字符是互不相同的，现在任意组合，比如ab，则输出aa，ab，ba，bb，编程按照字典序输出所有的组合。
分析：非简单的全排列问题（跟全排列的形式不同,abc全排列的话，只有6个不同的输出）。 本题可用递归的思想，设置一个变量表示已输出的个数，然后当个数达到字符串长度时，就输出。
void perm(string str, string temp, vector<string> &res, int now, int size) { if(now == size) { res.push_back(temp); return; } for(int i = 0; i != size; ++i) { perm(str, temp + str[i], res, now + 1, size); } }
2、如果不是求字符的所有排列，而是求字符的所有组合，应该怎么办呢？当输入的字符串中含有相同的字符串时，相同的字符交换位置是不同的排列，但是同一个组合。举个例子，如果输入abc，它的组合有a、b、c、ab、ac、bc、abc。
void combination(string str, string temp, vector<string> &res, int start, int require) { if(temp.size() == require) { res.push_back(temp); return; } for(int i = start; i < str.size(); ++i) { combination(str, temp + str[i], res, i + 1, require); } } void solve_combination(string str, vector<string> &res) { for(int i = 1; i <= str.size(); ++i) { combination(str, "", res, 0, i); } }
3、写一个程序，打印出以下的序列。
(a),(b),(c),(d),(e)........(z)
(a,b),(a,c),(a,d),(a,e)......(a,z),(b,c),(b,d).....(b,z),(c,d).....(y,z)
(a,b,c),(a,b,d)....(a,b,z),(a,c,d)....(x,y,z)
....
(a,b,c,d,.....x,y,z)
void print_solve(string str, string s) { cout << s << "(" << str << ")"; } void combinationII(string str, string temp, vector<vector<string>> &res, int start, int require) { if(temp.size() == require) { res[require - 1].push_back(temp); return; } for(int i = start; i < str.size(); ++i) { combinationII(str, temp + str[i], res, i + 1, require); } } void solve_combinationII() { string str = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"; vector<vector<string>> ress; ress.resize(26); for(int i = 1; i <= str.size(); ++i) { combinationII(str, "", ress, 0, i); } for(int i = 0; i < ress.size(); ++i) { for(int j = 0; j < ress[i].size(); ++j) { if(j != 0) { print_solve(ress[i][j], ","); } else { print_solve(ress[i][j], ""); } } cout << endl; } }