树链剖分
问题
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将树上x到y最短路径上所有结点的值都加上z
- 可以用树上差分，cf[x]+=z ; cf[y]+=z; cf[lac(x,y)] -= z; cf[fa[lca(x,y)]] -= z;
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求树上从x到y结点最短路径的点权和或者边长和
- dist = dis[x] + dis[y] - 2*dis[lac(x,y)],dis[x]代表结点x到root的距离，可以通过dfs预处理出来。
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求树上以结点x为根节点的子树所有点权之和
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可以用dfs序得到每个顶点的进站时间和出站时间，构造相应的点权序列order，对该序列建立线段树，查询结点x的子树点权和即查询order[in[u]]到order[out[u]]这个区间的和，由于该区间内所有顶点均出现两次所以结果除以2
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还有一种比较巧妙的做法是处理出每个结点的子树size，这样只需要处理出进栈序列就可以了，原理是这个子树的序号必然是连续的且子树根节点序号最小。查询时返回order[in[u]]到order[in[u]+size[u]-1]这个区间的和即可。
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将树上以节点x为根的子树中所有结点权值加z
- 同理可以使用上面的方法，只不过把区间查询变为区间修改
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以上四种若结合起来用树链剖分比较容易
核心代码
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变量声明
//链式前向星 int head[maxn]; int cnt; struct edge{ int v,w,nxt; }edge[maxn<<1]; //树链相关 int siz[maxn];//子树大小 int top[maxn];//重链顶端 int son[maxn];//重儿子 int dep[maxn];//结点深度 int fa[maxn];//结点父亲 int idx[maxn];//dfs序号对应结点 int rk[maxn];//结点对应dfs序号 int dfn;//dfs时序 //线段树相关 int s[maxn<<2],e[maxn<<2];//区间左右端点 ll sum[maxn<<2];//区间和 int lazy[maxn<<2]; //懒标记 //权值保存 int a[maxn];//dfs序重新编号后的点权值数组 int b[maxn];//原树的各点权值数组 -
线段树，作用是维护把树处理出来的链，可区间修改区间查询
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dfs序列构造
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链式前向星构图
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处理size father depth son数组
//处理出size fa dep数组 son数组根据siz确定 void dfs1(int u, int f, int d){ dep[u] = d; fa[u] = f; siz[u] = 1; for(int i=head[u]; i ; i=edge[i].nxt){ int v = edge[i].v; if(v == f) continue; dfs1(v , u, d+1); siz[u] += siz[v]; if(!son[u] || siz[son[u]] < siz[v]) son[u] = v; } } -
处理top idx rk数组(rk有时可以不需要)
//处理出top idx rk数组 void dfs2(int u, int t){ top[u] = t; idx[u] = ++dfn; a[dfn] = b[u];//把u结点的权值重新赋值到dfs序列中 rk[dfn] = u; if(!son[u]) return ;//如果没有重儿子则返回 dfs2(son[u] , t);//同一条重链上的结点拥有同一个top for(int i=head[u]; i; i=edge[i].nxt){ int v = edge[i].v; if(v != son[u] && v != fa[u]){ //如果当前结点不是重儿子 则其top等于自己 dfs2( v , v ); } } } -
查询路径点权和
ll queryRange(int x, int y){ ll ans = 0; while(top[x] != top[y]){ if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x , y); ans += query(1, idx[top[x]] , idx[x]); ans %= p; x = fa[top[x]]; } //若x ,y不在同一点则还需要把这一条重链的点权加上 if(dep[x] > dep[y]) swap(x , y); ans += query(1 , idx[x] , idx[y]); ans %= p; return ans; } -
修改路径点权
void updateRange(int x, int y, int k){ k %= p; while(top[x] != top[y]){ if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x , y); update(1, idx[top[x]] , idx[x], k); x = fa[top[x]]; } //若x ,y不在同一点则还需要把这一条重链的点权加上 if(dep[x] > dep[y]) swap(x , y); //由于x的深度小于y 而x,y又处于同一条链上 所以idx[x] < idx[y] update(1 , idx[x] , idx[y] , k); } -
子树操作
//关键点是子树结点在dfs序列中必然连续 ll querySon(int x){ return query(1 , idx[x] , idx[x] + siz[x] - 1); } void updateSon(int x ,int k){ update(1 , idx[x] , idx[x] + siz[x] - 1, k); }
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例题
P3384 【模板】树链剖分
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思路：树链剖分模板
#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn = 1e5+10; int n,m,r;//顶点数 操作个数 根节点 int p ; //模数 //链式前向星建图 int head[maxn]; int cnt; struct edge{ int v,w,nxt; }edge[maxn<<1]; void addEdge(int u, int v){ edge[++cnt].v = v; edge[cnt].nxt = head[u]; head[u] = cnt; } int siz[maxn];//子树大小 int top[maxn];//重链顶端 int son[maxn];//重儿子 int dep[maxn];//结点深度 int fa[maxn];//结点父亲 int idx[maxn];//dfs序号对应结点 int rk[maxn];//结点对应dfs序号 int dfn;//dfs时序 int s[maxn<<2],e[maxn<<2];//区间左右端点 ll sum[maxn<<2];//区间和 int lazy[maxn<<2]; //懒标记 int a[maxn];//原树的点权值数组 int b[maxn];//重新编号后的点权值数组 void init(){ memset(head , 0 ,sizeof head); memset(son , 0 ,sizeof son); cnt = 0; dfn = 0; } //处理出size fa dep数组 son数组根据siz确定 void dfs1(int u, int f, int d){ dep[u] = d; fa[u] = f; siz[u] = 1; for(int i=head[u]; i ; i=edge[i].nxt){ int v = edge[i].v; if(v == f) continue; dfs1(v , u, d+1); siz[u] += siz[v]; if(!son[u] || siz[son[u]] < siz[v]) son[u] = v; } } //处理出top idx rk数组 void dfs2(int u, int t){ top[u] = t; idx[u] = ++dfn; a[dfn] = b[u];//把u结点的权值重新赋值到dfs序列中 rk[dfn] = u; if(!son[u]) return ;//如果没有重儿子则返回 dfs2(son[u] , t);//同一条重链上的结点拥有同一个top for(int i=head[u]; i; i=edge[i].nxt){ int v = edge[i].v; if(v != son[u] && v != fa[u]){ //如果当前结点不是重儿子 则其top等于自己 dfs2( v , v ); } } } void pushUp(int rt){ sum[rt] = (sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1]) % p; } void build(int rt, int l , int r){ s[rt] = l, e[rt] = r; lazy[rt] = 0; if(l == r){ sum[rt] = a[l]; return ; } int mid = (l + r) >> 1; build(rt<<1 , l , mid); build(rt<<1|1, mid+1, r); pushUp(rt); } void pushDown(int rt){ if(lazy[rt] != 0 && s[rt] != e[rt]){ sum[rt<<1] += lazy[rt] * (e[rt<<1] - s[rt<<1] + 1); sum[rt<<1|1] += lazy[rt] * (e[rt<<1|1] - s[rt<<1|1] + 1) ; sum[rt<<1] %= p; sum[rt<<1|1] %= p; lazy[rt<<1] += lazy[rt]; lazy[rt<<1|1] += lazy[rt]; lazy[rt<<1] %= p; lazy[rt<<1|1] %= p; lazy[rt] = 0; } } void update(int rt, int l, int r, int val){ if(s[rt] == l && e[rt] == r){ sum[rt] += val*(e[rt] - s[rt] + 1); sum[rt] %= p; lazy[rt] += val; lazy[rt] %= p; return ; } pushDown(rt); int mid = (s[rt] + e[rt]) >> 1; if(l > mid) update(rt<<1|1, l , r , val); else if(r <= mid) update(rt<<1, l , r, val); else{ update(rt<<1, l , mid, val); update(rt<<1|1, mid+1, r, val); } pushUp(rt); } ll query(int rt, int l, int r){ //ll ans = 0; if(s[rt] == l && e[rt] == r) return sum[rt]; pushDown(rt); int mid = (s[rt] + e[rt]) >> 1; if(l > mid) return query(rt<<1|1,l,r); else if(r <= mid) return query(rt<<1,l,r); else return (query(rt<<1,l,mid) + query(rt<<1|1, mid+1,r)) % p; } ll queryRange(int x, int y){ ll ans = 0; while(top[x] != top[y]){ if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x , y); ans += query(1, idx[top[x]] , idx[x]); ans %= p; x = fa[top[x]]; } //若x ,y不在同一点则还需要把这一条重链的点权加上 if(dep[x] > dep[y]) swap(x , y); ans += query(1 , idx[x] , idx[y]); ans %= p; return ans; } void updateRange(int x, int y, int k){ k %= p; while(top[x] != top[y]){ if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x , y); update(1, idx[top[x]] , idx[x], k); x = fa[top[x]]; } //若x ,y不在同一点则还需要把这一条重链的点权加上 if(dep[x] > dep[y]) swap(x , y); //由于x的深度小于y 而x,y又处于同一条链上 所以idx[x] < idx[y] update(1 , idx[x] , idx[y] , k); } ll querySon(int x){ return query(1 , idx[x] , idx[x] + siz[x] - 1); } void updateSon(int x ,int k){ update(1 , idx[x] , idx[x] + siz[x] - 1, k); } int main(){ int u,v,w,op; while(scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&r,&p) != EOF){ init(); //读入点权 for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&b[i]); //建图 for(int i=1; i<n; i++){ scanf("%d %d", &u, &v); addEdge(u , v); addEdge(v , u); } dfs1(r , 0, 1); dfs2(r , r); build(1 , 1, n); for(int i=1; i<=m; i++){ scanf("%d" ,&op); if(op == 1){ scanf("%d %d %d", &u,&v,&w); updateRange(u , v, w); } else if(op == 2){ scanf("%d %d", &u, &v); printf("%lld ",queryRange(u , v)); } else if(op == 3){ scanf("%d %d", &u, &w); updateSon(u ,w); } else{ scanf("%d",&u); printf("%lld ",querySon(u)); } } } return 0; }
BZOJ4034
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题意：树上单点修改，子树修改， 子树查询
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思路 ： 树链剖分模板题，或者dfs序结合线段树
#include<iostream> #include<stdio.h> #include<cstring> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn = 1e5+10; int n,m;//顶点数 操作个数 //链式前向星建图 int head[maxn]; int cnt; struct edge{ int v,w,nxt; }edge[maxn<<1]; void addEdge(int u, int v){ edge[++cnt].v = v; edge[cnt].nxt = head[u]; head[u] = cnt; } int siz[maxn];//子树大小 int top[maxn];//重链顶端 int son[maxn];//重儿子 int dep[maxn];//结点深度 int fa[maxn];//结点父亲 int idx[maxn];//dfs序号对应结点 int rk[maxn];//结点对应dfs序号 int dfn;//dfs时序 int s[maxn<<2],e[maxn<<2];//区间左右端点 ll sum[maxn<<2];//区间和 ll lazy[maxn<<2]; //懒标记 int a[maxn];//原树的点权值数组 int b[maxn];//重新编号后的点权值数组 void init(){ memset(head , 0 ,sizeof head); memset(son , 0 ,sizeof son); cnt = 0; dfn = 0; } //处理出size fa dep数组 son数组根据siz确定 void dfs1(int u, int f, int d){ dep[u] = d; fa[u] = f; siz[u] = 1; for(int i=head[u]; i ; i=edge[i].nxt){ int v = edge[i].v; if(v == f) continue; dfs1(v , u, d+1); siz[u] += siz[v]; if(!son[u] || siz[son[u]] < siz[v]) son[u] = v; } } //处理出top idx rk数组 void dfs2(int u, int t){ top[u] = t; idx[u] = ++dfn; a[dfn] = b[u];//把u结点的权值重新赋值到dfs序列中 rk[dfn] = u; if(!son[u]) return ;//如果没有重儿子则返回 dfs2(son[u] , t);//同一条重链上的结点拥有同一个top for(int i=head[u]; i; i=edge[i].nxt){ int v = edge[i].v; if(v != son[u] && v != fa[u]){ //如果当前结点不是重儿子 则其top等于自己 dfs2( v , v ); } } } void pushUp(int rt){ sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1]; } void build(int rt, int l , int r){ s[rt] = l, e[rt] = r; lazy[rt] = 0; if(l == r){ sum[rt] = a[l]; return ; } int mid = (l + r) >> 1; build(rt<<1 , l , mid); build(rt<<1|1, mid+1, r); pushUp(rt); } void pushDown(int rt){ if(lazy[rt] != 0 && s[rt] != e[rt]){ sum[rt<<1] += lazy[rt] * (e[rt<<1] - s[rt<<1] + 1); sum[rt<<1|1] += lazy[rt] * (e[rt<<1|1] - s[rt<<1|1] + 1) ; lazy[rt<<1] += lazy[rt]; lazy[rt<<1|1] += lazy[rt]; lazy[rt] = 0; } } void update(int rt, int l, int r, int val){ if(s[rt] == l && e[rt] == r){ sum[rt] += 1LL*val*(e[rt] - s[rt] + 1); lazy[rt] += 1LL*val; return ; } pushDown(rt); int mid = (s[rt] + e[rt]) >> 1; if(l > mid) update(rt<<1|1, l , r , val); else if(r <= mid) update(rt<<1, l , r, val); else{ update(rt<<1, l , mid, val); update(rt<<1|1, mid+1, r, val); } pushUp(rt); } ll query(int rt, int l, int r){ //ll ans = 0; if(s[rt] == l && e[rt] == r) return sum[rt]; pushDown(rt); int mid = (s[rt] + e[rt]) >> 1; if(l > mid) return query(rt<<1|1,l,r); else if(r <= mid) return query(rt<<1,l,r); else return query(rt<<1,l,mid) + query(rt<<1|1, mid+1,r); } ll queryRange(int x, int y){ ll ans = 0; while(top[x] != top[y]){ if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x , y); ans += query(1, idx[top[x]] , idx[x]); x = fa[top[x]]; } //若x ,y不在同一点则还需要把这一条重链的点权加上 if(dep[x] > dep[y]) swap(x , y); ans += query(1 , idx[x] , idx[y]); return ans; } void updateRange(int x, int y, int k){ while(top[x] != top[y]){ if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x , y); update(1, idx[top[x]] , idx[x], k); x = fa[top[x]]; } //若x ,y不在同一点则还需要把这一条重链的点权加上 if(dep[x] > dep[y]) swap(x , y); //由于x的深度小于y 而x,y又处于同一条链上 所以idx[x] < idx[y] update(1 , idx[x] , idx[y] , k); } void updateSon(int x ,int k){ update(1 , idx[x] , idx[x] + siz[x] - 1, k); } int main(){ int u,v,w,op; while(scanf("%d %d",&n,&m) != EOF){ init(); //读入点权 for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&b[i]); //建图 for(int i=1; i<n; i++){ scanf("%d %d", &u, &v); addEdge(u , v); addEdge(v , u); } dfs1(1 , 0, 1); dfs2(1 , 1); build(1 , 1, n); for(int i=1; i<=m; i++){ scanf("%d" ,&op); if(op == 1){ scanf("%d %d", &u ,&w); updateRange(u,u,w); } else if(op == 2){ scanf("%d %d", &u, &w); updateSon(u , w); } else if(op == 3){ scanf("%d", &u); printf("%lld ",queryRange(1,u)); } } } return 0; }
树链剖分求LCA
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核心思想:通过top数组和father数组将x,y结点调到一条重链上，然后返回x,y深度较小的一个
#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; const int maxn = 5e5+10; int n,m,s;//顶点数 询问次数 树根 //链式前向星建图 int head[maxn]; int cnt; struct edge{ int v,w,nxt; }edge[maxn<<1]; void addEdge(int u, int v){ edge[++cnt].v = v; edge[cnt].nxt = head[u]; head[u] = cnt; } int siz[maxn];//子树大小 int top[maxn];//重链顶端 int son[maxn];//重儿子 int dep[maxn];//结点深度 int fa[maxn];//结点父亲 int idx[maxn];//dfs序号对应结点 int rk[maxn];//结点对应dfs序号 int dfn;//dfs时序 void init(){ memset(head , 0 ,sizeof head); memset(son , 0 ,sizeof son); cnt = 0; dfn = 0; } //处理出size fa dep数组 son数组根据siz确定 void dfs1(int u, int f, int d){ dep[u] = d; fa[u] = f; siz[u] = 1; for(int i=head[u]; i ; i=edge[i].nxt){ int v = edge[i].v; if(v == f) continue; dfs1(v , u, d+1); siz[u] += siz[v]; if(!son[u] || siz[son[u]] < siz[v]) son[u] = v; } } //处理出top idx rk数组 void dfs2(int u, int t){ top[u] = t; idx[u] = ++dfn; rk[dfn] = u; if(!son[u]) return ;//如果没有重儿子则返回 dfs2(son[u] , t);//同一条重链上的结点拥有同一个top for(int i=head[u]; i; i=edge[i].nxt){ int v = edge[i].v; if(v != son[u] && v != fa[u]){ //如果当前结点不是重儿子 则其top等于自己 dfs2( v , v ); } } } int LCA(int x, int y){ while(top[x] != top[y]){ if(dep[top[x]] > dep[top[y]]){ x = fa[top[x]]; } else{ y = fa[top[y]]; } } return dep[x] < dep[y] ? x : y; } int main(){ int u,v; while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&s) != EOF){ init(); for(int i=1; i<n; i++){ scanf("%d %d", &u, &v); addEdge(u , v); addEdge(v , u); } dfs1(s , 0, 1); dfs2(s , s); for(int i=1; i<=m; i++){ scanf("%d %d", &u, &v); printf("%d ",LCA(u,v)); } } }