基础算法(二)

主要内容：

       1.迭代法

       2.蛮力法

       3.分治法

       4.贪心法

       5.动态规划

1.迭代法

迭代法也称“辗转法”，是一种不断用变量的旧值递推出新值得解决问题的方法，一般用于数学计算。它是我们早已熟悉的算法策略，累加、累乘都的迭代算法的基础应用。利用迭代算法策略解决问题，设计工作主要有3步：

      1.确定迭代模型：根据问题描述，分析得出前一个（或几个）值与其下一个值的迭代关系数学模型。

      2.建立迭代关系式：递推数学模型一般是带下标的字母，算法设计中要将其转化为"循环不变式"——迭代关系式。迭代关系式就是一个直接或间接地不断由旧值递推出新值得表达式，存储新值得变量称为迭代变量。

      3.对迭代过程进行控制：确定在什么时候结束迭代过程。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是已知或可以计算出所需的迭代次数，通过构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。另一种是所需的迭代次数无法确定，需要分析出迭代过程的结束条件，有时还需考虑得不到目标解的情况，避免出现迭代过程的死循环。

穿越沙漠问题：

      一辆吉普车穿越1000km的沙漠。吉普车的总装油量为500加仑，耗油率为1加仑/km,由于沙漠中没有油库，必须先用这辆车在沙漠中建立临时油库。若吉普车用最少的耗油量穿越沙漠，应该在哪些地方建立油库，以及各处存储的油量。

     对于这个问题，我们从终点开始倒着推解储油点的位置及储油量。根据耗油量最少的目标进行分析，从后（终点）向前（起点）分段讨论：

     第一段长度为500km且第一个加油点储油量为500加仑。

      第二段中，为了储备油，吉普车在这段行程中必须有往返。这段一共走3次：第一、二次来回耗油量为装载量的2/3，储油量则为装载量的1/3，第三次单向行驶耗油量为装载量的1/3，储油量为装载量的2/3，这样第二个加油点的储油量为1000加仑，长度为500/3km

      第三段与第二段思路相同。这一段共走5次：第一、二次来回耗油量为装载量的2/5，储油量为装载量的3/5，第三、四次来回耗油量为装载量的2/5，储油量为装载量的3/5，第五次单向行驶耗油量为装载量的1/5，储油量为装载量的4/5，这样第三个加油点储油量为1500加仑，长度为500/5km

      ..........

      综上分析，从终点开始分别间隔500，500/3，500/5 ...(km)设立储油点，每个储油点的油量为500，1000，1500...   

#include<stdio.h>
int main()
{
    int dis, k, oil,i;
    int distances[10], oilquantities[10];
    dis = 500; k = 1; oil = 500;
    do
    {
        distances[k] = 1000 - dis;
        oilquantities[k] = oil;
        k = k + 1;
        dis = dis + 500 / (2 * k - 1);
        oil = 500 * k;
    } while (dis<1000);
    oil = 500 * (k - 1) + (1000 - dis)*(2 * k - 1);
    distances[k] = 0;
    oilquantities[k] = oil;
   
    for (i = k; i>=1; i--)
    {
        printf("storepoint: %d,  distance: %d, oilquantity: %d
", k+1-i, distances[i],oilquantities[i]);
    }
    return 0;
}

牛顿迭代法：

    牛顿迭代公式：Xn+1=Xn-f(Xn)/f'(Xn)

    下面给出求形如a*x^3+b*x^2+c*x+d=0方程根的算法，求x在1附近的一个实根。

#include<stdio.h>
#include<math.h>

float f(float a, float b, float c, float d)
{
    float x1 = 1, x0, f0, f1;
    do
    {
        x0 = x1;
        f0 = ((a*x0 + b)*x0 + c)*x0 + d;
        f1 = (3 * a*x0 + 2 * b)*x0 + c;
        x1 = x0 - f0 / f1;
    } while (fabs(x1-x0)>=exp(-4));
    return x1;
}

int main()
{
    float a, b, c, d, fx;
    printf("输入系数a,b,c,d:");
    scanf("%f%f%f%f", &a, &b, &c, &d);
    fx = f(a, b, c, d);
    printf("方程的根为:%f
", fx);
}

2.蛮力法

蛮力法是基于计算机运算速度快的特点，在解决问题时采用的一种“懒惰”策略，它几乎不经过思考，把问题的所有情况交给计算机去尝试，从中找出问题的解。蛮力策略的应用范围很广，比如选择排序，冒泡排序，插入排序，顺序查找、朴素的字符串匹配等等。在这里我们简单了解一下蛮力策略中的枚举法。

枚举法就是根据问题中的条件将可能的情况一一列举出来，逐一尝试从中找出满足问题条件的解，有时候还需要进一步考虑，排除一些明显不合理的情况，尽量减少问题可能解的列举数目。用枚举法解决问题：

     1.找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况

     2.找出约束条件：分析问题的解需要满足的条件，并用逻辑表达式表示

百钱百鸡问题：

鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，翁、母、雏各几何？

#include<stdio.h>
int main()
{
    int  x, y, z;
    for (x = 1; x <= 20; x++)
    {
        for (y = 1; y <= 33; y++)
        {
            z = 100 - x - y;
            if (z % 3 == 0 && 5 * x + 3 * y + z / 3 == 100)
                printf("the cock number is %d,the hen number is %d,the chick number is %d
",x,y,z);
        }
    }
}

数字谜：

ABCAB*A=DDDDDD

#include<stdio.h>
int main()
{
    int A, B, C, D;
    long E, F;
    for (A = 3; A <= 9; A++)
        for (D = 1; D <= 9; D++)
        {
            E = D * 100000 + D * 10000 + D * 1000 + D * 100 + D * 10 + D;
            if (E%A == 0)
            {
                F = E / A;
                if (F / 10000 == A && (F % 100) / 10 == A)
                    if ((F / 1000) % 10 == F % 10)
                        printf("%ld*%d=%ld
", F, A, E);
            }
        }
}

3.分治法

分治法求解问题的过程是，将整个问题分成若干个小问题后分而治之。如果分解得到的子问题相对来说还太大，则可反复使用分治策略将这些子问题分成更小的同类型子问题，直至方便求解的子问题，必要时逐步合并这些子问题的解，从而得到问题的解。

下面是分治法求解的三个步骤：

      1.分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题

      2.解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则再继续分解为更小的子问题，直到容易解决。

      3.合并：将已求解的各子问题的解，逐步合并为原问题的解。

适合用分治法策略的问题：

      1.能将n个数据分解成k个不同子集合，且得到k个子集合是可以独立求解的子问题。（1<k<=n）

      2.分解得到的子问题与原问题具有相似的结构，便于利用递归或循环机制

      3.在求出这些子问题的解之后，就可以推解出原问题的解。

下面给出残缺棋盘和金块问题的问题描述与具体算法，比较经典的分治法解决的问题还有大整数乘法问题，可以自己研究一下。

残缺棋盘

残缺棋盘是一个有2^k*2^k(k>=1)个方格的棋盘，其中恰有一个残缺。用k=1时各种可能的残缺棋盘（三格板）去覆盖更大的残缺棋盘，要求：1.三格板不能重叠2.三格板不能覆盖残缺方格，但必须覆盖其他所有的方格。

#include<stdio.h>
int amount = 0, Board[100][100];
void Cover(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)
{
    int s, t;
    if (size < 2) return;
    amount = amount + 1;
    t = amount;
    s = size / 2;

    if (dr < tr + s&&dc < tc + s)
    {
        Cover(tr, tc, dr, dc, s);

        Board[tr + s - 1][tc + s] = t;
        Board[tr + s][tc + s - 1] = t;
        Board[tr + s][tc + s] = t;

        Cover(tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s);
        Cover(tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s);
        Cover(tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s);
    }
    else  if (dr<tr + s&&dc >= tc + s)
    {
        Cover(tr, tc + s, dr, dc, s);

        Board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;
        Board[tr + s][tc + s - 1] = t;
        Board[tr + s][tc + s] = t;

        Cover(tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s);
        Cover(tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s);
        Cover(tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s);
    }
    else if (dr >= tr + s&&dc<tc + s)
    {
        Cover(tr + s, tc, dr, dc, s);

        Board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;
        Board[tr + s - 1][tc + s] = t;
        Board[tr + s][tc + s] = t;

        Cover(tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s);
        Cover(tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s);
        Cover(tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s);
    }
    else  if (dr >= tr + s&&dc>=tc + s)
    {
        Cover(tr + s, tc + s, dr, dc, s);

        Board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;
        Board[tr + s - 1][tc + s] = t;
        Board[tr + s][tc + s - 1] = t;

        Cover(tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s);
        Cover(tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s);
        Cover(tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s);
    }
}
void OutputBoard(int size)
{
    for (int i = 0; i < size; i++)
    {
        for (int j = 0; j <size; j++)
        {
            printf("%6d", Board[i][j]);
        }
        printf("
");
    }
}

int main()
{
    int size = 1, x, y, i, j, k;
    scanf("%d", &k);
    for (i =1; i <= k; i++)
        size = size * 2;
    printf("input incomplete pane
 ");
    scanf("%d %d", &x, &y);
    Cover(0, 0, x, y, size);
    OutputBoard(size);
    return 0;
}

金块问题

老板有一袋金块（共n块，n是2的幂，n>=2），最优秀的雇员得到其中最重的一块，最差的雇员得到其中最轻的一块。用最少的比较次数找出最重和最轻的金块。

#include<stdio.h>
#define  N  8
float a[N] = {4.5,2.3,3.4,1.2,6.7,9.8,5,6};
void maxmin(float &fmax, float &fmin, int i, int j)
{
    int mid;
    float lmax, lmin, rmax, rmin;
    if (i == j)
    {
        fmax = a[i];
        fmin = a[i];
    }
    else if(i==j-1)
    {
        if (a[i] < a[j])
        {
            fmax = a[j];
            fmin = a[i];
        }
        else
        {
            fmax = a[i];
            fmin = a[j];
        }
    }
    else
    {
        mid = (i + j) / 2;
        maxmin(lmax, lmin,i, mid);
        maxmin(rmax, rmin,mid + 1, j);
        if (lmax > rmax)
            fmax = lmax;
        else
            fmax = rmax;

        if (lmin > rmin)
            fmin = rmin;
        else
            fmin = lmin;
    }
}

int main()
{
    float max, min;
    maxmin(max, min, 0, N - 1);
    printf("Max=%.1f
Min=%.1f
", max, min);
    return 0;
}

4.贪心法

贪心法是逐步获得最优解，解决最优化问题时的一种简单但适用范围有限的策略。它没有固定的算法框架，算法设计的关键是贪婪策略的选择，选择的贪婪策略要具有无后向性。贪婪策略面对问题仅考虑当前局部信息便做出决策，也就是使用贪婪算法的前提是局部最优策略能导致产生全局最优解。

键盘输入一个高精度的正整数n,去掉其中任意s个数字后剩下的数字按原来左右次序将组成一个新的正整数。编程对给定的n和s，寻找一种方案使得剩下的数字组成的新数最小。

#include<stdio.h>
int length(const char s[])
{
    int i = 0;
    if (s == NULL)
    {
        return 0;
    }
    while (s[i] != '')
    {
        ++i;
    }
   return i;
}

void deleteNum(char* n, int b, int k)
{
    int i;
    for (i = b;i < length(n) - k;i++)
        n[i] = n[i + k];
    n[i] = '';
}

int main()
{
    char n[100];
    int s, i, j, j1, c, data[100], len;
    scanf("%s", n);
    scanf("%d", &s);
    len = length(n);
   
    if (s > len)
    {
        printf("data error");
        return 0;
    }
    j1 = 0;
    
    for (i = 1;i <= s;i++)
    {
        for (j = 0; j < length(n); j++)
        {
            if (n[j] >n[j+1])
            {
                deleteNum(n, j, 1);
                if (j >= j1)
                    data[i] = j + i;
                else
                    data[i] = data[i - 1] - 1;
                j1 = j;
                break;
            }
            if (j > length(n))
                break;
        }
    }

    for (i = i; i <=s; i++)
    {
        j = len - i + 1;
        deleteNum(n, j, 1);
        data[i] = j;
    }
    
    while (n[0]=='0'&&length(n)>1)
    {
        deleteNum(n, 0, 1);
    }
    
    printf("
%s
", n);
    for (i = 1; i <=s; i++)
    {
        printf("%d ", data[i]);
    }
    printf("
");
}

币种统计问题

某单位给每个职工发工资（精确到元）。为了保证避免临时兑换零钱，且取款的张数最少，发工资前要统计出所有职工的工资所需各种币值（100，50，20，10，5，2，1共7种）的张数。

#include<stdio.h>
int main()
{
    int i, j, n, GZ, A, B[8] = { 0,100,50,20,10,5,2,1 }, S[8] = { 0,0,0,0,0,0,0,0 };
    scanf("%d", &n);
    for (i = 1; i <=n;i++)
    {
        scanf("%d", &GZ);
        for (j = 1; j <=7; j++)
        {
            A = GZ / B[j];
            S[j] = S[j] + A;
            GZ = GZ - A*B[j];
        }
    }
    for (i = 1; i <=7; i++)
    {
        printf("%d----%d
", B[i], S[i]);
    }
    printf("
");
}

埃及分数

设计一个算法，把一个真分数表示为埃及分数之和的形式。所谓埃及分数，是指分子为1的分数。如7/8=1/2+1/3+1/24

#include<stdio.h>
int main()
{
    int a, b, c,i=0;
    printf("input a element:");
    scanf("%d", &a);
    printf("input denominator:");
    scanf("%d", &b);
    if (a >= b)
    {
        printf("input error");
    }
    else
    {
        if (a == 1 || b%a == 0)
        {
            printf("%d/%d=%d/%d
", a, b, 1, b / a);
        }
        else
        {
            while (a!=1)
            {
                c = b / a + 1;
                a = a*c - b;
                b = b*c;
                printf("1/%d+", c);

                if (b%a == 0 || a == 1)
                {
                        printf("1/%d", b / a);
                        a = 1;
                }
            }
            printf("
");
        }
    }
}

5.动态规划

动态规划主要针对最优化问题，它的决策不是线性而是全面考虑各种不同的情况分别进行决策，最后通过多阶段的决策逐步找出问题的最终解。

适用条件：

  　最优化原理（最优子结构）

  　无后向性（某状态以后过程不会影响以前）

 　子问题重叠（子问题不独立，一个子问题在下一阶段决策时可能被多次使用到）

基本思想：

    把求解的问题分成许多阶段或多个子问题，然后按顺序求解各子问题。

步骤：

    划分阶段（划分为无后向性若干子阶段）

    选择状态（罗列所出现状态，要满足无后效性）

    确定决策并写出状态转移方程

0-1背包问题

给定N个物品和一个背包。物品i的重量是Wi ,其价值为Vi ，背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值为最大？（在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。）

#include<stdio.h>
int V[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值
int max(int a, int b)
{
    if (a >= b)      return a;   else return b;
}

int KnapSack(int n, int w[], int v[], int x[], int C)
{
    int i, j;
    for (i = 0; i <= n; i++)        V[i][0] = 0;
    for (j = 0; j <= C; j++)        V[0][j] = 0;
    for (i = 0; i <= n - 1; i++)
        for (j = 0; j <= C; j++)
            if (j<w[i])                V[i][j] = V[i - 1][j];
            else               V[i][j] = max(V[i - 1][j], V[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
            j = C;
            for (i = n - 1; i >= 0; i--)
            {
                if (V[i][j]>V[i - 1][j])
                {
                    x[i] = 1;                j = j - w[i];
                }
                else
                    x[i] = 0;
            }
            printf("选中的物品是:
");
            for (i = 0; i < n; i++)
                if (x[i])
                    printf("%d ", i + 1);
            printf("
");
            return V[n - 1][C];
}
int main()
{
    int n, i, v[200], w[200], x[200], c;
    printf("请输入背包的容量:");
    scanf("%d", &c);

    printf("请输入物品的个数:");
    scanf("%d", &n);

    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
        x[i] = 0;
    }
    KnapSack(n, w, v, x, c);
    return 0;
}