图论篇1——图的基本概念

图的基本性质

顶点（vertex）

上图中黑色的带数字的点就是顶点，表示某个事物或对象。由于图的术语没有标准化，因此，称顶点为点、节点、结点、端点等都是可以的。叫什么无所谓，理解是什么才是关键。

边（edge）

上图中顶点之间蓝色的线条就是边，表示事物与事物之间的关系。需要注意的是边表示的是顶点之间的逻辑关系，粗细长短都无所谓的。包括上面的顶点也一样，表示逻辑事物或对象，画的时候大小形状都无所谓。

有向/无向图（Directed Graph/ Undirected Graph）

有向图和无向图，两者的区别在于，有向图中的边是有方向性的。（可以把无向图视为“双向”的有向图，构造无向图用的就是这种方法）

一般到底是有向图还是无向图要根据实际情况判断，比如在A、B两点之间的一条路，那一定是个无向图。

权重（weight）

边的权重（或者称为权值、开销、长度等），即每条边都有与之对应的值。例如当顶点代表某些地点时，两个顶点间边的权重可以为两点的距离。

连通图/连通分量（connected graph/connected component）

如果在图G中，任意2个顶点之间都存在路径，那么称G为连通图（注意是任意2顶点）。如果把下图看为两个图，就是两个连通图。

连通分量也叫最（极）大连通子图，把上图看为一个整体，它不是一个连通图，但它有多个连通子图，0,1,2,3,4顶点构成的子图就是该图的最大连通子图。

注意：对于连通图来说，它的最大连通子图就是其本身。

图的表示

邻接矩阵

用二维数组直接存储。

邻接矩阵非常好写，只需要开一个二维数组，但顶点数目太大会超内存（一般不大于1000），用到的情况比较少。

邻接表

存储示意图：

可理解看做是多条单链表，结构体定义如下：

struct ENode {
    int dis, to;//权重、指向
    ENode* next = NULL;
    void push(int to, int dis) {
        ENode* p = new ENode;
        p->to = to; p->dis = dis;
        p->next = next;
        next = p;
    }
}head[100];

完整测试：

#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;
typedef long long LL;

struct ENode {
    int dis, to;//权重、指向
    ENode* next = NULL;
    void push(int to, int dis) {
        ENode* p = new ENode;
        p->to = to; p->dis = dis;
        p->next = next;
        next = p;
    }
}*head;

int main() {
#ifdef LOCAL
    fstream cin("data.in");
#endif // LOCAL
    /*
    5 8
    1 3 4
    2 4 3
    4 5 6
    1 5 7
    3 5 4
    3 4 3
    2 5 6
    4 1 7
    */
    int n, m; //n个定点，m条边
    cin >> n >> m;
    head = new ENode[n + 1];
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int from, to, dis;
        cin >> from >> to >> dis;
        head[from].push(to, dis);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << i;
        ENode* p = head[i].next;
        while (p) {
            if (p)cout << "-->";
            cout << p->to;
            p = p->next;
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

其他一些术语

关节点

也叫重连通分量，在连通图 G 中，如果删除顶点 u 及从 u 出发的所有边后所得的子图不连通，我们就称顶点 u 为图 G 的关节点或连接点。 

生成树

树（Tree）：如果一个无向连通图中不存在回路，则这种图称为树。

生成树 （Spanning Tree）：无向连通图G的一个子图如果是一颗包含G的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树。

生成树是连通图的极小连通子图。这里所谓极小是指：若在树中任意增加一条边，则将出现一条回路；若去掉一条边，将会使之变成非连通图。