方格取数问题 |
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description |
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在一个有m*n 个方格的棋盘中，每个方格中有一个正整数。现要从方格中取数，使任意2 个数所在方格没有公共边，且取出的数的总和最大。试设计一个满足要求的取数算法。
对于给定的方格棋盘，按照取数要求编程找出总和最大的数。
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input |
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多组数据输入.
每组输入第1 行有2 个正整数m和n，分别表示棋盘的行数和列数。接下来的m行，每行有n个正整数，表示棋盘方格中的数。
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output |
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每组输出取数的最大总和.
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sample_input |
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3 3
1 2 3
3 2 3
2 3 1
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sample_output |
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11
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分析（引用 BYvoid大牛的分析）：
二分图点权最大独立集，转化为最小割模型，从而用最大流解决。
建模方法:
首先把棋盘黑白染色，使相邻格子颜色不同，所有黑色格子看做二分图 X集合中顶点，白色格子看做Y集合顶点，建立附加
源 S汇T。
1、从 S向 X 集合中每个顶点连接一条容量为格子中数值的有向边。
2、从 Y集合中每个顶点向 T 连接一条容量为格子中数值的有向边。
3、相邻黑白格子 Xi,Yj 之间从 Xi向 Yj连接一条容量为无穷大的有向边。
求出网络最大流，要求的结果就是所有格子中数值之和减去最大流量。
建模分析:
这是一个二分图最大点权独立集问题，就是找出图中一些点，使得这些点之间没有边相连，这些点的权值之和最大。独立集
与覆盖集是互补的，求最大点权独立集可以转化为求最小点权覆盖集（最小点权支配集）。最小点权覆盖集问题可以转化为最小割
问题解决。结论:最大点权独立集 = 所有点权 - 最小点权覆盖集 = 所有点权 - 最小割集 = 所有点权 - 网络最大流。
对于一个网络，除去冗余点（不存在一条 ST路径经过的点），每个顶点都在一个从 S到T的路径上。割的性质就是不存在从
S到 T的路径，简单割可以认为割边关联的非 ST节点为割点，而在二分图网络流模型中每个点必关联到一个割点（否则一定还有
增广路，当前割不成立），所以一个割集对应了一个覆盖集（支配集）。最小点权覆盖集就是最小简单割，求最小简单割的建模方
法就是把 XY集合之间的变容量设为无穷大，此时的最小割就是最小简单割了。
有关二分图最大点权独立集问题，更多讨论见《最小割模型在信息学竞赛中的应用》作者胡伯涛。
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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int OO=1e9;//无穷大
const int maxm=111111;//边的最大数量，为原图的两倍
const int maxn=1111;//点的最大数量
int node,src,dest,edge;//node节点数，src源点，dest汇点，edge边数
int head[maxn],work[maxn],dis[maxn],q[maxn];//head链表头，work临时表头，dis计算距离
const int direct[4][2]= { {0,1},{1,0},{-1,0},{0,-1} };
int n,m,cnt;
struct edgenode
{
int to;//边的指向
int flow;//边的容量
int next;//链表的下一条边
} edges[maxm];
//初始化链表及图的信息
void prepare(int _node,int _src,int _dest)
{
node=_node;
src=_src;
dest=_dest;
for (int i=0; i<node; i++) head[i]=-1;
edge=0;
}
//添加一条从u到v容量为c的边
void addedge(int u,int v,int c)
{
edges[edge].flow=c;
edges[edge].to=v;
edges[edge].next=head[u];
head[u]=edge++;
edges[edge].flow=0;
edges[edge].to=u;
edges[edge].next=head[v];
head[v]=edge++;
}
//广搜计算出每个点与源点的最短距离，如果不能到达汇点说明算法结束
bool Dinic_bfs()
{
int u,v,r=0;
for (int i=0; i<node; i++) dis[i]=-1;
q[r++]=src;
dis[src]=0;
for (int l=0; l<r; l++)
{
u=q[l];
for (int i=head[u]; i!=-1; i=edges[i].next)
{
v=edges[i].to;
if (edges[i].flow&&dis[v]<0)
{
//这条边必须要有剩余流量
q[r++]=v;
dis[v]=dis[u]+1;
if (v==dest) return true;
}
}
}
return false;
}
//寻找可行流的增广路算法，按节点的距离来找，加快速度
int Dinic_dfs(int u,int exp)
{
int v,tmp;
if (u==dest) return exp;
//work是临时链表头，这里用 i引用它，这样寻找过的边不再寻找
for (int &i=work[u]; i!=-1; i=edges[i].next)
{
v=edges[i].to;
if (edges[i].flow&&dis[v]==dis[u]+1&&(tmp=Dinic_dfs(v,min(exp,edges[i].flow)))>0)
{
edges[i].flow-=tmp;
edges[i^1].flow+=tmp;
//正反向边容量改变
return tmp;
}
}
return 0;
}
//求最大流直到没有可行流
int Dinic_flow()
{
int ret=0,tmp;
while (Dinic_bfs())
{
for (int i=0; i<node; i++) work[i]=head[i];
while ( (tmp=Dinic_dfs(src,OO))!=0 ) ret+=tmp;
}
return ret;
}
struct MAP
{
int value;
int index;
int col;
} a[111][111];
bool check(int x,int y)
{
if (x>=1&&x<=m&&y>=1&&y<=n) return true;
else return false;
}
int main()
{
int maxflow,total,ans,clr;
while (scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)
{
cnt=0;
total=0;
maxflow=0;
clr=0;
memset(a,0,sizeof(a));
for (int i=1; i<=m; i++)
{
for (int j=1; j<=n; j++)
{
scanf("%d",&a[i][j].value);
total+=a[i][j].value;
if ((i+j)%2==0) a[i][j].col=0;
else a[i][j].col=1;
a[i][j].index=++cnt;
}
}
prepare(cnt+2,0,cnt+1);
for (int i=1; i<=m; i++)
{
for (int j=1; j<=n; j++)
{
int u,c,v;
u=a[i][j].index;
c=a[i][j].col;
v=a[i][j].value;
if (c==0)
{
addedge(src,u,v);
for (int k=0; k<4; k++)
{
int x,y;
x=i+direct[k][0];
y=j+direct[k][1];
if (check(x,y))
{
int ind=a[x][y].index;
addedge(u,ind,OO);
}
}
}
else if (c==1)
{
addedge(u,dest,v);
}
}
}
maxflow=Dinic_flow();
ans=total-maxflow;
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}