最小路径覆盖问题 |
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description |
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给定有向图G=(V,E)。设P 是G 的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果V 中每个顶点恰好在P 的一条路上，则称P是G 的一个路径覆盖。P 中路径可以从V 的任何一个顶点开始，长度也是任意的，特别地，可以为0。G 的最小路径覆盖是G 的所含路径条数最少 的路径覆盖。 设计一个有效算法求一个有向无环图G 的最小路径覆盖。 提示：设V={1，2，...; ，n}，构造网络G1=(V1,E1)如下： |
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input |
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多组数据输入.
每组输入第1 行有2个正整数n<=200和m。n是给定有向无环图G 的顶点数，m是G 的边数。接下来的m行，每行有2 个正整数i和j，表示一条有向边(i,j)。
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output |
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每组输出最少路径数。
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sample_input |
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11 12
1 2
1 3
1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
9 11
10 11
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sample_output |
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3
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分析（引用 BYvoid大牛的分析）：
有向无环图最小路径覆盖，可以转化成二分图最大匹配问题，从而用最大流解决。
建模方法:
构造二分图，把原图每个顶点 i拆分成二分图X，Y集合中的两个顶点 Xi和 Yi。对于原图中存在的每条边(i,j)，在二分图
中连接边(Xi,Yj)。然后把二分图最大匹配模型转化为网络流模型，求网络最大流。
最小路径覆盖的条数，就是原图顶点数，减去二分图最大匹配数。沿着匹配边查找，就是一个路径上的点，输出所有路径即可。
建模分析:
对于一个路径覆盖，有如下性质：
1、每个顶点属于且只属于一个路径。
2、路径上除终点外，从每个顶点出发只有一条边指向路径上的另一顶点。
所以我们可以把每个顶点理解成两个顶点，一个是出发，一个是目标，建立二分图模型。该二分图的任何一个匹配方案，都
对应了一个路径覆盖方案。如果匹配数为0，那么显然路径数=顶点数。每增加一条匹配边，那么路径覆盖数就减少一个，所以路
径数=顶点数 - 匹配数。要想使路径数最少，则应最大化匹配数，所以要求二分图的最大匹配。
注意，此建模方法求最小路径覆盖仅适用于有向无环图，如果有环或是无向图，那么有可能求出的一些环覆盖，而不是路径
覆盖。
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#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int OO=1e9;//无穷大
const int maxm=1111111;//边的最大数量，为原图的两倍
const int maxn=11111;//点的最大数量
int node,src,dest,edge;//node节点数，src源点，dest汇点，edge边数
int head[maxn],work[maxn],dis[maxn],q[maxn];//head链表头，work临时表头，dis计算距离
struct edgenode
{
int to;//边的指向
int flow;//边的容量
int next;//链表的下一条边
} edges[maxm];
//初始化链表及图的信息
void prepare(int _node,int _src,int _dest)
{
node=_node;
src=_src;
dest=_dest;
for (int i=0; i<node; i++) head[i]=-1;
edge=0;
}
//添加一条从u到v容量为c的边
void addedge(int u,int v,int c)
{
edges[edge].flow=c;
edges[edge].to=v;
edges[edge].next=head[u];
head[u]=edge++;
edges[edge].flow=0;
edges[edge].to=u;
edges[edge].next=head[v];
head[v]=edge++;
}
//广搜计算出每个点与源点的最短距离，如果不能到达汇点说明算法结束
bool Dinic_bfs()
{
int u,v,r=0;
for (int i=0; i<node; i++) dis[i]=-1;
q[r++]=src;
dis[src]=0;
for (int l=0; l<r; l++)
{
u=q[l];
for (int i=head[u]; i!=-1; i=edges[i].next)
{
v=edges[i].to;
if (edges[i].flow&&dis[v]<0)
{
//这条边必须要有剩余流量
q[r++]=v;
dis[v]=dis[u]+1;
if (v==dest) return true;
}
}
}
return false;
}
//寻找可行流的增广路算法，按节点的距离来找，加快速度
int Dinic_dfs(int u,int exp)
{
int v,tmp;
if (u==dest) return exp;
//work是临时链表头，这里用 i引用它，这样寻找过的边不再寻找
for (int &i=work[u]; i!=-1; i=edges[i].next)
{
v=edges[i].to;
if (edges[i].flow&&dis[v]==dis[u]+1&&(tmp=Dinic_dfs(v,min(exp,edges[i].flow)))>0)
{
edges[i].flow-=tmp;
edges[i^1].flow+=tmp;
//正反向边容量改变
return tmp;
}
}
return 0;
}
//求最大流直到没有可行流
int Dinic_flow()
{
int ret=0,tmp;
while (Dinic_bfs())
{
for (int i=0; i<node; i++) work[i]=head[i];
while ( tmp=Dinic_dfs(src,OO) ) ret+=tmp;
}
return ret;
}
int main()
{
int n,m,ans,maxflow;
while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
prepare(n+n+2,0,n+n+1);
for (int i=1; i<=m; i++)
{
int x,y;
cin>>x>>y;
addedge(x,y+n,1);
}
for (int i=1; i<=n; i++)
{
addedge(src,i,1);
addedge(i+n,dest,1);
}
maxflow=Dinic_flow();
ans=n-maxflow;
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}