博弈小专题

//取石子专题

First：巴什博弈

       只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。将这一状态进行推广，那么当能够使得状态为n%(m+1)==0的人必胜。也就是说，只要n%(m+1)!=0,则先手必胜。

Second：尼姆博弈   详解戳

       有3堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取1个，多者不限，最后取光者得胜。

首先只要最后剩两堆物品一样多(不为零)，第三堆为零，那面对这种局势的一方就必败，我们用(a,b,c)表示某种局势，(0,0,0)显然是必败态；第二种必败态是(0,n,n)，自己在某一堆拿走k（k ≤ n）个物品，不论k为多少，对方只要在另一堆拿走k个物品，最后自己都将面临(0,0,0)的局势，必败。

对于任何必败局势(a,b,c)，都有a XOR b XOR c = 0。

那么现在面临的问题就是，非必败态如何转化为必败态。假设 a < b < c，我们只要将 c 变为a XOR b，即可。因为有如下的运算结果：a XOR b XOR (a XOR b)=(a XOR a) XOR (b XOR b) = 0要将c 变为a XOR b，只要对 c进行 c-(a XOR b)这样的运算即可。

推广->n堆物品：

把每堆物品数全部异或起来，如果得到的值为0，那么先手必败，否则先手必胜。

 

Third：威佐夫博弈

有两堆各若干的物品，两人轮流从其中一堆取至少一件物品，至多不限，或从两堆中同时取相同件物品，规定最后取完者胜利。

若两堆物品的初始值为（x，y），且x<y；

记w=（int）[（（sqrt（5）+1）/2）*（y-x）]；//很奇妙的黄金分割比

若w=x，则先手必败，否则先手必胜。

Forth：斐波那契博弈

有一堆物品，两人轮流取，先手最少取一个，至多无上限，但不能把物品取完，之后每次取得物品数不能超过上一次的2倍且至少为1件，取走最后一件物品的人获胜。

当且仅当n不为斐波那契数时先手胜。